Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
параграф 3.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.24 Mб
Скачать

§ 3.6. Частные случаи криволинейного движения точки

Криволинейное движение точки. При криволинейном движении точки вектор нормального ускорения всегда направлена внутрь вогнутости траектории вдоль оси . Вектор касательного ускорения при направлен по направлению оси , а при –противоположно направлению оси (рис. 3.14).

Рис. 3.14

Касательное ускорение , когда (рис. 3.15, а).

  1. , т.е. при равномерном движении точки;

2. В моменты времени, когда ,

Рис. 3.15

Нормальное ускорение , когда

  1. , это условие выполняется при , т.е. при прямолинейном движении точки.

  2. Когда

  3. В точках перегиба, когда происходит изменение выпуклости траектории на вогнутость и наоборот (рис. 3.15, б).

Круговое движение точки. Введем радиус-вектором . Совместим начало радиус-вектора с центром окружности О, полярную ось направим по радиусу, рис. 3.16, а. Тогда, при движении точки будет меняться только угол между радиус-вектором и осью (рис.3.16, а), модуль радиус-вектора остается постоянным. Следовательно, описывать движение точки можно одним параметром – углом . Зададим движение точки естественным способом. Введем оси естественного трехгранника и привяжем их к движущейся точки . Нормальная ось совпадает с направлением радиуса окружности и проходит через центр окружности, касательная ось направлена в сторону движения точки и перпендикулярна радиусу (рис.3.16, б).

Рис. 3.16

Пусть точка движется по окружности радиуса против часовой стрелки (рис. 3.16 б). При , точка занимала положение , за время точка прошла путь S и заняла положение , а радиус-вектор повернулся вслед за точкой на угол .

Зададим движение точки естественным способом. Введем оси естественного трехгранника, оси и . Соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью движения точки, ось совпадает с радиусом и проходит через центр окружности, ось направлена в сторону движения точки и перпендикулярна радиусу.

Известно, что длина дуги, радиус окружности и угол связаны между собой (рис. 3.17):

Введем обозначения:

– круговая скорость,

–круговое ускорение.

Рис. 3.17

Вычислим скорость и ускорение точки:

(3.17)

Знак производной определяет направление движения точки:

  1. при , точка движется против часовой стрелки,

  2. при , точка движется по часовой стрелки;

  3. , , или , – точка движется ускоренно;

  4. , или , – точка движется замедленно.

Круговое движение точки

Угол , угол между ускорением точки и нормальной осью вычислим из равенства, рис. 3,16, б:

.

При равномерном круговом движении , тогда угол между ускорением и нормальной осью равен нулю, т.е. вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности.

1 Производная функции равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента , когда : .