
- •§ 3. Естественный способ задания движения точки
- •§ 3.1. Определения
- •§ 3.2. Оси естественного трехгранника
- •§ 3.3. Скорость точки при естественном способе задания движения
- •§ 3.4. Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •§ 3.5. Связь координатного и естественного способов
- •§ 3.6. Частные случаи криволинейного движения точки
§ 3.6. Частные случаи криволинейного движения точки
Криволинейное
движение точки. При
криволинейном движении точки вектор
нормального ускорения
всегда направлена внутрь
вогнутости траектории вдоль оси
.
Вектор касательного ускорения
при
направлен по направлению оси
,
а при
–противоположно направлению оси
(рис. 3.14).
Рис. 3.14
Касательное
ускорение
,
когда (рис. 3.15, а).
, т.е. при равномерном движении точки;
2. В моменты времени,
когда
,
Рис. 3.15
Нормальное ускорение
,
когда
, это условие выполняется при
, т.е. при прямолинейном движении точки.
Когда
В точках перегиба, когда происходит изменение выпуклости траектории на вогнутость и наоборот (рис. 3.15, б).
Круговое движение
точки. Введем
радиус-вектором
.
Совместим начало радиус-вектора с
центром окружности О,
полярную ось
направим по радиусу, рис. 3.16, а. Тогда,
при движении точки будет меняться только
угол между радиус-вектором и осью
(рис.3.16, а), модуль радиус-вектора остается
постоянным. Следовательно, описывать
движение точки можно одним параметром
– углом
.
Зададим движение точки естественным
способом. Введем оси естественного
трехгранника
и привяжем их к движущейся точки
.
Нормальная ось
совпадает с направлением радиуса
окружности и проходит через центр
окружности, касательная ось
направлена в сторону движения точки и
перпендикулярна радиусу (рис.3.16, б).
Рис. 3.16
Пусть точка движется
по окружности радиуса
против часовой стрелки (рис. 3.16 б). При
,
точка занимала положение
,
за время
точка
прошла путь S
и заняла положение
,
а радиус-вектор
повернулся вслед за точкой на угол
.
Зададим движение точки естественным способом. Введем оси естественного трехгранника, оси и . Соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью движения точки, ось совпадает с радиусом и проходит через центр окружности, ось направлена в сторону движения точки и перпендикулярна радиусу.
|
Известно, что длина дуги, радиус окружности и угол связаны между собой (рис. 3.17):
Введем обозначения:
|
Рис. 3.17 |
Вычислим скорость и ускорение точки:
(3.17)
Знак производной
определяет направление движения точки:
при
, точка движется против часовой стрелки,
при
, точка движется по часовой стрелки;
, , или
, – точка движется ускоренно;
, или
,
– точка движется замедленно.
Круговое движение точки
|
Угол
,
угол между ускорением точки
и нормальной осью
вычислим из равенства, рис. 3,16, б:
.
При равномерном
круговом движении
,
тогда угол между ускорением
и нормальной осью
равен
нулю, т.е. вектор ускорения направлен
по радиусу к центру окружности.
1
Производная функции
равна пределу отношения приращения
функции
к приращению аргумента
,
когда
:
.