§ 3.5. Связь координатного и естественного способов
заданий движения точки
Рассмотрим движение точки в плоскости. Уравнения движение точки заданы координатным способом
.
Уравнение движения точки, заданной в естественной форме связано с координатным способом соотношением
Скорость при естественном задании тогда равна
Для касательной составляющей ускорения имеем
.
Нормальная
составляющая ускорения
связана с модулем ускорения
и углом
(угол
– угол между вектором ускорения
и вектором скорости
,
рис. 3..10, соотношением:
.
Модуль векторного произведения векторов и
Рис. 3.10 также связывает , и углом :
.
Тогда:
Связь координатного и естественного способов заданий движения точки
|
,
Пример 3.1.
Движение точки в плоскости
задано координатным способом уравнениями
,
:
|
(а) |
(б) |
где
и
выражены в см,
в с.
Требуется задать
движение точки в явном виде; вычислить
скорость, нормальную и касательную
составляющие ускорения, радиус кривизны
траектории в соответствующей точке для
момента времени
с.
Решение. Для
построения траектории в декартовой
системе координат определим область
значений
и
.
Функции
и
ограничены, тогда
область значений
и
определяется неравенствами:
;
.
Получим зависимость
.
Для этого из (а)–(б) исключим параметр
.
Введём обозначение
,
тогда уравнения (а) и (б) перепишутся в
виде:
Распишем первое
уравнение полученной системы, используя
формулу двойного угла (
),
приведем подобные члены и выразим
через
:
.
Из второго уравнения выразим через , получим:
(с)
И
Рис. 3.11
,
ветви параболы вытянуты вдоль оси
слева от вершины (рис. 3.11).
При
функция
убывает, а
возрастает
(рис.1.18); следовательно, точка из положения
начинает движение по верхней ветви
параболы до точки
,
далее точка движется обратно по верхней
ветви траектории и через точку с
координатами
движется по нижней ветви параболы до
точки
– и т.д.
В целом точка М совершает колебательные движения по построенной параболе в ограниченной пунктиром области. Направление движения в первые 2 с указано стрелкой на рис. 3.11.
Вычислим положение
точки
на
траектории при
с:
(см);
(см).
2. Вычислим скорость точки при с.
(см/с);
(см/с);
(см/с).
Cправка. Формулы приведения:
|
;
.
Значения
и
отложим в масштабе на графике (рис. 3.12,
а).
а |
|
б |
|
Рис. 3.12
Вектор скорости
точки
является диагональю параллелограмма,
достроенного на этих векторах, и
определяет направление движения точки,
а также определяет направление и
положение касательной оси
.
Вычислим ускорение точки при с:
(см/с2);
(см/с2);
(см/с2).
Вектор ускорения
точки
–
получаем построением параллелограмма
на проекциях ускорений
и
в выбранном масштабе (рис. 3.12, б).
Как видно из рис. 3.12, в вектор полного ускорения точки направлен внутрь вогнутости траектории движения точки.
Касательная и нормальная составляющие ускорения точки (рис. 3.13). При координатном способе задания движения указанные составляющие ускорения рассчитываются по формулам:
(см/с2);
Рис. 3.13 |
Касательное и
нормальное ускорения точки можно
вычислить геометрически. Для этого в
точке
необходимо построить оси естественного
трехгранника
и
Перпендикулярно этой оси, в сторону |
.
Положение и направление оси
определили ранее
по построенному вектору скорости
точки
.
вогнутости
траектории, проведём главную нормаль
(полуось). Отложим в масштабе проекции
и
и построим вектор
(рис. 3.13). Проекция вектора ускорения
на ось
будет соответствовать касательной
составляющей ускорения
.
Измеряя длину указанного вектора и
умножая на масштаб, получим значение
;
в данном случае
(см/с2). Вектор
совпадает по направлению с вектором
скорости точки
,
следовательно, движение точки по параболе
в данный момент времени – ускоренное.
Соответственно,
проекция
на ось
будет определять нормальное ускорение
.
Измеряя длину полученной проекции и
умножая на масштаб, получим значение
;
в данном случае
(см/с2).
Получено достаточно
хорошее соответствие значений
и
,
рассчитанных разными способами.
Радиус кривизны траектории.
Имеем:
Вычислим уравнение
движения точки
,
заданное естественном способом .
Имеем:
.
Получили уравнение движения точки, заданное естественным способом в интегральном виде.