
- •§ 2. Кинематика точки
- •§ 2. 1. Основные понятия, задачи кинематики
- •§ 2. 2. Векторный способ задания движения точки1
- •§ 2.3. Координатный способ задания движения точки
- •§ 2.4. Прямолинейное движение точки. Прямая и обратная задачи
- •Взяв от обеих частей последнего равенства интегралы с учетом начальных условий, получим
Взяв от обеих частей последнего равенства интегралы с учетом начальных условий, получим
.
Получили уравнение прямолинейного переменного движения точки.
.
Пример 2.9. Точка движется в плоскости . Уравнение движения точки задано координатным способом:
,
где
и
выражены в см,
в сек. (а)
Требуется:
Построить и
исследовать траекторию движения точки
в декартовой системе координат. Вычислить
при
сек.
Положение точки в начальный момент времени
, направление движения точки и положение точки на траектории.
Вектор скорости
.
Вычислить вектор ускорения
точки.
Вычислить радиус кривизны траектории.
Решение.
Построим траекторию
движения точки.
Для
этого в
декартовой системе координат определим
область, в которой движется точка, т.е.
область значений
и
.
Функции
и
ограничены:
,
,
тогда (рис. 2.19):
;
.
Получим зависимость
.
Для этого из уравнений (а) исключим
параметр
.
Введём обозначение
,
тогда уравнения (а) перепишутся в виде
(б)
Рис. 2.19
Распишем первое
уравнение системы (б), используя формулу
двойного угла (
)
и приведем подобные члены:
Из второго уравнения
выразим
через
,
получим:
(с)
Траекторией точки
является парабола с вершиной в точке
;
ветви параболы вытянуты вдоль оси
(рис. 2.19).
Вычислим координаты точки при :
Вычислим время,
при котором точка достигает
положение
Вычислим координаты
точки при
:
Вычислим время,
при котором точка достигает
положение
Вычислим время,
при котором точка достигает
положение
При
функции
и
возрастают, точка М
из положения
начинает движение по верхней ветви
параболы до положения
;
далее при
точка
движется обратно по верхней ветви
траектории до точки
,
и при
продолжает
движение по нижней ветви параболы до
положения
,
далее при
точка
возвращается в первоначальное положение
т.е. завершает цикл, далее движение
повторяется. Время одного цикла движения
Точка совершает колебательные движения
по параболе.
1. Вычислим скорость
точки
для
с:
(см/c);
(см/c);
см/с;
,
.
Откладываем
проекции скорости
и вектор
на графике
(рис. 2.20).
Рис. 2.20
2. Вычислим ускорение точки для с. (рис. 2 21):
(см/c2);
(см/c2);
(см/c2);
,
Рис. 2.21
Вектор ускорения
точки
–
получаем построением параллелограмма
на проекциях ускорений
и
в выбранном масштабе (рис. 2.21).
Как видно из рис. 2.21, вектор полного ускорения точки направлен внутрь вогнутости траектории движения точки.
1 Параграф для самостоятельного изучения.
2
В теории функций одной переменной эта
процедура определяет область задания
(существования) функций
и
.
Область определения функций в классической
кинематике всегда определена –
.