
- •§ 2. Кинематика точки
- •§ 2. 1. Основные понятия, задачи кинематики
- •§ 2. 2. Векторный способ задания движения точки1
- •§ 2.3. Координатный способ задания движения точки
- •§ 2.4. Прямолинейное движение точки. Прямая и обратная задачи
- •Взяв от обеих частей последнего равенства интегралы с учетом начальных условий, получим
§ 2.4. Прямолинейное движение точки. Прямая и обратная задачи
Прямая задача кинематики. Задано уравнение прямолинейного движения
.
Решение прямой задачи кинематики связано с правилами дифференцирования функций, т.к. скорость и ускорение точки вычисляются по формулам
,
.
При этом рекомендуется пользоваться таблицей производных элементарных функций, приведенных в справочниках по математике.
Если
,
– вектор
скорости и вектор ускорения направлены
в одну сторону – движение ускоренное,
если
,
,
– вектор
скорости и вектор ускорения направлены
в в противоположные стороны – движение
замедленное.
Пример 2.6.
Прямолинейное
движение точки М
задано уравнением
.
Вычислить
скорость и ускорение точки М
в момент времени
.
Решение.
Уравнение движения задано ограниченной
периодической функцией –
.
Поэтому траекторией движения точки М
является отрезок на прямой
<3
(рис. 2.18), В момент времени
,
в моменты времени
,
. Итак, точка М
совершает гармонические колебания с
амплитудой гармонических колебаний,
равной 3.
В момент времени
,
точка М
имеет координату:
Рис. 2. 18
Вычислим скорость и ускорение точки М:
.
Точка М
в заданный момент времени движется
замедленно,
т.к.
,
,
поэтому вектор
скорости и вектор ускорения направлены
в противоположные стороны (рис. 2.18).
Обратная задача кинематики. Задано ускорение движущейся точки, как функция времени:
.
Требуется вычислить уравнение движения точки.
Ускорение точки
связано со скоростью
,
а скорость с уравнением движения
линейными
дифференциальными уравнениями:
(2.14)
При решении обратной задачи необходима процедура, обратная дифференцированию, т.е. интегрирование. При интегрировании аналитических функций возникают неопределенные константы и функция , удовлетворяющая дифференциальным уравнениям (2.14), будет содержать две произвольные постоянные интегрирования (дважды интегрируем).
.
В каждой конкретной задаче постоянные интегрирования определяются из начальных условий задачи, поэтому при решении обратной задачи кинематики, необходимо формулировать эти условия. Начальные условия задачи определяют значения начальной координаты и начальной скорости точки.
Начальные условия задачи
|
Начальные условия задачи определяют единственное решение дифференциальных уравнений (2.15).
Алгоритм решения обратной задачи кинематики: в дифференциальных уравнениях (2.11) разделяют переменные, полученные
(2.16)
При интегрировании уравнений (2.16) с помощью определенных интегралов, нижние пределы интегрирования соответствуют значениям интегрируемых величин в начальный момент времени, т.е. начальным условиям задачи, верхние пределы интегрирования соответствуют значению интегрируемых величин при текущем времени t.
Пример 2.7.
Точка М
движется прямолинейно по оси Оx
со скоростью
.
В начальный момент времени точка
находилась от начала отсчета на расстоянии
.
Определить уравнение движения точки.
Решение Имеем
Разделим переменные: умножим правую и левую части уравнения на dt, получим
Начальные условия
задачи:
Проинтегрируем
полученное дифференциальное уравнение
с разделенными переменными с учетом
начальных условий задачи:
Получили уравнение равномерного прямолинейного движения точки.
Пример 2.8.
Точка движется
вдоль оси Оx
с ускорением
.
При
,
.
Найти уравнение движения точки.
Решение. Имеем
.
Разделим переменные: умножим правую и левую части уравнения на dt, получим
Взяв от обеих частей равенства интегралы в соответствующих пределах, получим
.
Используя
подстановку
и
разделяя переменные, получим:
.