§ 2.4. Прямолинейное движение точки. Прямая и обратная задачи

Прямая задача кинематики. Задано уравнение прямолинейного движения

.

Решение прямой задачи кинематики связано с правилами дифференцирования функций, т.к. скорость и ускорение точки вычисляются по формулам

, .

При этом рекомендуется пользоваться таблицей производных элементарных функций, приведенных в справочниках по математике.

Если _, – вектор скорости и вектор ускорения направлены в одну сторону – движение ускоренное, если , , – вектор скорости и вектор ускорения направлены в в противоположные стороны – движение замедленное.

Пример 2.6. Прямолинейное движение точки М задано уравнением . Вычислить скорость и ускорение точки М в момент времени .

Решение. Уравнение движения задано ограниченной периодической функцией – . Поэтому траекторией движения точки М является отрезок на прямой <3 (рис. 2.18), В момент времени , в моменты времени , . Итак, точка М совершает гармонические колебания с амплитудой гармонических колебаний, равной 3. В момент времени , точка М имеет координату:

Рис. 2. 18

Вычислим скорость и ускорение точки М:

.

_{Точка М в заданный момент времени движется замедленно, т.к.} , , поэтому вектор скорости и вектор ускорения направлены в противоположные стороны (рис. 2.18).

Обратная задача кинематики. Задано ускорение движущейся точки, как функция времени:

.

Требуется вычислить уравнение движения точки.

Ускорение точки связано со скоростью , а скорость с уравнением движения линейными дифференциальными уравнениями:

(2.14)

При решении обратной задачи необходима процедура, обратная дифференцированию, т.е. интегрирование. При интегрировании аналитических функций возникают неопределенные константы и функция , удовлетворяющая дифференциальным уравнениям (2.14), будет содержать две произвольные постоянные интегрирования (дважды интегрируем).

.

В каждой конкретной задаче постоянные интегрирования определяются из начальных условий задачи, поэтому при решении обратной задачи кинематики, необходимо формулировать эти условия. Начальные условия задачи определяют значения начальной координаты и начальной скорости точки.

Начальные условия задачи (2.15)

Начальные условия задачи определяют единственное решение дифференциальных уравнений (2.15).

Алгоритм решения обратной задачи кинематики: в дифференциальных уравнениях (2.11) разделяют переменные, полученные

(2.16)

При интегрировании уравнений (2.16) с помощью определенных интегралов, нижние пределы интегрирования соответствуют значениям интегрируемых величин в начальный момент времени, т.е. начальным условиям задачи, верхние пределы интегрирования соответствуют значению интегрируемых величин при текущем времени t.

Пример 2.7. Точка М движется прямолинейно по оси Оx со скоростью . В начальный момент времени точка находилась от начала отсчета на расстоянии . Определить уравнение движения точки.

Решение Имеем

Разделим переменные: умножим правую и левую части уравнения на dt, получим

Начальные условия задачи: Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение с разделенными переменными с учетом начальных условий задачи:

Получили уравнение равномерного прямолинейного движения точки.

Пример 2.8. Точка движется вдоль оси Оx с ускорением .

При , . Найти уравнение движения точки.

Решение. Имеем

.

Разделим переменные: умножим правую и левую части уравнения на dt, получим

Взяв от обеих частей равенства интегралы в соответствующих пределах, получим

.

Используя подстановку и разделяя переменные, получим:

.