§ 2. 2. Векторный способ задания движения точки1

Движение точки задается радиус– вектором этой точки. Движение точки считается заданным, если известен радиус – вектор движущейся точки как функция времени, т.е.

. (2.5)

Рис. 2.5

Уравнение (2.5) называется уравнением движения точки, заданное векторным способом. Заданное уравнение движения полностью определяет движение точки.

Пусть задает движение точки М, тогда при изменении t точка опишет кривую в пространстве (рис. 2.5). Эта кривая называется годографом радиус-вектора и соответствует траектории точки.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке – (рис. 2.4) и вычисляется по формуле

. (2.6)

Вектор ускорения направлен внутрь вогнутости траектории в точке и вычисляется по формуле:

. (2.7)

Покажем технологию вычисления скорости и ускорения точки А.

Пусть движение точки А происходит в заданной плоскости. Зададим радиус – вектор движущейся точки как функция времени т.е. зададим функции , , рис.2.6, а

а

б

Рис. 2.6

Совместим начало декартовой системы координат и ось с полюсом и полярной осью , соответственно (рис. 2.6, б). Радиус – вектор разложим по единичным ортам , :

.

Введем - единичный вектор, направленный вдоль радиус-вектора в сторону возрастания модуля , и - единичный вектор, получающийся из поворотом последнего на угол против часовой стрелки. Единичные векторы и задают направления двух взаимно перпендикулярных осей. Ось, направление которой определено единичным вектором называется радиальной, а единичным вектором – трансверсальной. В системе координат Оху векторы и можно связать с единичными ортами следующим образом (рис.2.6, б):

,

.

Вычислим скорость точки А. Так как

, ,

имеем

.

Модуль скорости

. (2.8)

Проекции скорости на радиальную ось - и трансверсальную ось - и называются соответственно радиальной и трансверсальной скоростями.

Угол, образованный вектором скорости с положительным радиальным направлением, вычисляется по формуле

.

Для ускорения аналогично получаем:

.

Тогда модуль ускорения

, . (2.9)

Проекции ускорения на радиальную ось - и трансверсальную ось - называются радиальным и трансверсальным ускорениями соответственно. Угол, образованный вектором ускорения с положительным радиальным направлением, вычисляется по формуле

.

Движение задано радиус-вектором , тогда , ; , .

Пример 2.1. Движение точки задано радиус-вектором :

(а)

Построить траекторию, вычислить скорость и ускорение точки для моментов времени ,

Решение. Исключая из уравнений движения (а) параметр t, получим уравнение траектории в полярных координатах: r=. Это уравнение описывает движение точки А по лучу , вращающемуся около полюса О. Траектория такого движения называется спиралью Архимеда (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Точка при занимает положение с координатами: ( ).

Точка при занимает положение с координатами:

Проекции скорости и ускорений на полярные оси вычислим по формулам:

;

.

Вычислим скорость и ускорение точки при :

;

.

Вычислим скорость и ускорение точки при :

;

.

Пример 2.2. Движение точки задано в уравнением

.

Построить траекторию движущейся точки и вычислить ее скорость при

Решение. Построить траекторию движущейся точки – это значит построить годограф радиус – вектора. Для построения годографа составим таблицу 2.1 точек годографа для отдельных значений t.

Табл. 2.1

t	0

Для любой точки годографа имеем: , , , поэтому при любом t выполняется равенство х²+у²=а², т.е. все точки годографа лежат на цилиндре, направляющей которого является окружность в плоскости переменных х, у, а образующая параллельна оси . Искомый годограф имеет вид, изображенный на рис. 2.8 a, и называется винтовой линией.

Рис. 2.8

Вычислим положение точки при заданном времени.

Точка М_О при имеет координаты: , , .

Вычислим скорость точки для текущего времени:

.

При , рис. 2.8, б: