Формула Тейлора

Пусть функция f(x) имеет в точке x₀ производные всех порядков до п-го включительно. Тогда для }{х) справедлива формула Тейлора

где о((x – x₀)ⁿ) = R_n(x) — остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано, являющийся при x  x₀ бесконечно малой более высокого порядка малости чем (x – x₀)ⁿ.

Положив x₀ = 0 и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций:

Если отбросить остаточный член, то получится приближенная формула Тейлора

правая часть которой называется многочленом Тейлора функции f(x), его обозначают Т_п(х). Приближенная формула f(x)  Т_п(х)позволяет заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора. Из формулы Тейлора видно, что, чем точка x ближе к точке x₀, тем выше точность такой аппроксимации и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что, чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки x₀, тем выше точность, с которой соответствующий многочлен Тейлора аппроксимирует функцию в этой окрестности.

Задание 26

Запишите формулу Тейлора заданной функции. Исследуйте аналити­чески и графически зависимость погрешности приближенной формулы Тейлора от степени многочлена и от расстояния |x – x₀|. Исследуйте поведение остаточного члена формулы Тейлора. Выполните вычисле­ния для функции f(x) из зад. 17

Порядок выполнения задания

1. Установите автоматический режим вычислений и режим ото­бражения результатов вычисления по горизонтали.

2. Определите функцию f(х).

3. Запишите разложение функции по формуле Тейлора до ука­занного порядка k.

4. Определите многочлены Тейлора степени п = 1, 2,..., k.

5. Постройте график функции и многочленов Тейлора степени п = 1,2,...k

6. Изобразите для этих степеней графики остаточных членов.

Пример выполнения задания

Исследуйте формулу Тейлора для функции sin x; в окрестности ну­ля, вычисляя многочлены Тейлора до 7-й степени и соответствующие остаточные члены.

Разложим функцию по формуле Тейлора (введем функцию, выделим переменную х и щелкнем по строке Разложить на составляющие... в пункте Переменные меню Символы)

Определим многочлены Тейлора как функции переменной x и скопируем в них нужное число n слагаемых из полученного разложения.

Построим график функции и многочленов Тейлора степени n = 1, 2,..., k

Ряд Тейлора

Ряд , членами которого являются функции переменной x, называется функциональным рядом.

Функциональный ряд , где {с_п} – числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале (x_o - R, x_o + R) с центром в точке x_o; число R — ради­ус сходимости степенного ряда. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды — ряды Тей­лора.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд

называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x_o. При x_o = 0 такой ряд называют рядом Маклорена:

Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале (x_o - R, x_o + R), если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на промежутке (x_o - R, x_o + R). Если функция раскладывается в некоторой окрестности точки x_o в степенной ряд, то этот степенной ряд — ее ряд Тейлора.

Когда ряд Тейлора функции f(x) сходится на некотором интервале к f(x)? Ответить на этот вопрос можно, вспомнив уже известные свойства разложения функции по формуле Тейлора.

Напишем формулу Тейлора для функции f(x):

Здесь R_n(x) — остаточный член формулы Тейлора. Доказано, что функция f(x) равна сумме своего ряда Тейлора на интервале (x_o - R, x_o + R) тогда и только тогда, когда при всех x из этого интервала ее остаточный член стремится к нулю: x  (x_o - R, x_o + R). Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема на (x_o - R, x_o + R) и все .ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, т.е. существует такая постоянная М > 0, что для всех x  (x_o - R, x_o + R) и для всех n = 1, 2,... справедливо неравенство |f⁽ⁿ⁾(x)|  М. Тогда для всех x  (x_o - R, x_o + R)

Ниже приведены разложения в ряд Тейлора некоторых элементар­ных функций в нуле.