Пример выполнения задания

Исследуйте на сходимость числовые ряды

, , ,

1. Ряд с общим членом сравним с рядом с общим членом - обобщенным гармоническим рядом

Так как и ряд сходится, то по первому признаку сходимости ряд также сходится

2. Ряд с общим членом сравним с рядом с общим членом

Ряд сходится, т.к. степень знаменателя больше 1, или

По второй теореме сравнения предел отношения не равен 0 и не равен , следовательно ряд сходится.

3. Для ряда применим признак Даламбера

По признаку Даламбера ряд расходится

4. Для ряда применим признак радикальный признак Коши

По радикальному признаку Коши ряд сходится

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Если в последовательности {u_n} бесконечно много положительных и отрицательных членов, то ряд называется знакопеременным.

Ряд, , a_n > 0 называется знакочередующимся. Для знакопеременных рядов введено понятие абсолютной сходимости. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .Если ряд расходится, а ряд сходится, то говорят, что ряд сходится условно. Справедлива теорема Лейбница. Если последовательность {a_n}, a_n > 0, стремится к нулю, монотонно убывая, , то ряд сходится.

ЗАДАНИЕ 25

Исследуйте на сходимость знакопеременные ряды , , . Если удается, вычислите сумму ряда.

Порядок выполнения задания

1. Установите автоматический режим вычислении и режим отображения результатов по горизонтали.

2. Определите члены исследуемого ряда как функции переменной п.

3. Определите абсолютные величины членов ряда как функции переменной n.

4. Вычислите предел абсолютных величин членов ряда при

5. Исследуйте на сходимость ряд из абсолютных величин.

6. Сформулируйте и запишите в рабочем документе вывод об абсолютной или условной сходимости исследуемого ряда

Пример выполнения задания

Исследование ряда

Исследуем ряд , составленный из абсолютных величин членов ряда

Так как ряд , составленный из абсолютных величин членов ряда расходится, а предел общего члена стремится к нулю, то по теореме Лейбница данный нам ряд сходится условно.

Разложение функций в ряд Тейлора

В Mathcad можно найти разложение функции по формуле Тейлора в окрестности любой точки из области определения функции. Сделать это можно через меню символьных вычислений или с помощью панели Символы, которая открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов (рис. 1).

Рис. 1. Панель символьных операций

При работе через меню введите функцию, выделите переменную, щелкните по строке Разложить на составляющие... в пункте Переменные. меню Символы, введите в окне диалога степень старшего члена в разложении (рис 2) и щелкните по кнопке

Рис. 2. Меню и окно диалога разложения по формуле Тейлора функции cos х

При работе с панелью символьных операций щелкните сначала по свободному месту в рабочем документе, затем по кнопке введите перед ключевым словом series выражение для функции, а после ключевого слова — имя переменной и точку, в окрестности которой строится разложение, щелкните в рабочем документе вне выделяющей рамки.

При работе с меню в рабочем документе отображается соответствующее разложение с остаточным членом в форме Пеано, при работе с панелью ключевых слов — только многочлен Тейлора (частичная сум­ма ряда Тейлора).