3. Применение эвм

3.1. Выполнение заданий 2.1.1 ÷ 2.1.4

Покажем на одном примере применение MATHCAD для решения всех задач 2.1.1 ÷ 2.1.4.

Пусть даны две линии y = x² + x +1 и y = 2 – x – x⁴ и требуется найти

1. площадь S фигуры, ограниченной этими линиями,

2. периметр P фигуры, ограниченной этими линиями,

3. объём V тела, полученного вращением фигуры вокруг оси ОХ,

4. площадь Sox поверхности тела, полученного вращением фигуры вокруг оси ОХ.

Сначала вводим уравнения линий, строим их графики и находим точки пересечения линий.

f1(x):= x² + x + 1; f2(x): = 2 – x – x⁴

Рис.1. Графики линий

x:= -1.2 ; x1:= root(f1(x) – f2(x), x); x1 = -1.184;

x:= 0.5 ; x2:= root(f1(x) – f2(x), x); x2 = 0.405.

Далее находим требуемые величины, набирая соответствующие интегралы:

; S = 1.784;

; P = 4.968;

; V = 17.443;

; Sox = 48.99.

3.2. Выполнение задания 2.2.2

Предположим, что дана функция . Введём её в поле MATHCAD и запишем частные производные:

; ; ;

; ; .

В ыражение для получим, набирая выражение . На

экране появится результат .

Также найдём и остальные производные.

3.3. Выполнение задания 2.2.3

Значения частных производных по х (при х = 1, у = -1, например), найдём, подставляя по очереди значения k = 1, 2, 3, 4 в следующее выражение на экране:

k: = 1; ; F(1,-1) = 1.325.

Аналогично находим частные производные по у. Смешанные производные находим, подставляя значения m и n, в следующее выражение:

m:= 1; n:= 1; ; F(1, -1) = 0.339.

3.4. Выполнение задания 2.2.9

Предположим, что нужно построить линии уровня функции f(x,y) в прямоугольнике: 2.5≤ х ≤ 3, 0.5 ≤ у ≤ 0.7. Чтобы это сделать в MATHCAD, нужно предварительно составить матрицу значений функции в этом прямоугольнике. Результат работы выглядит следующим образом:

a:= 2.5; b:= 3; c:= 0.5; d:= 0.7; i:= 1..101; j:= 1..101;

; ; .

Далее, вызываем панель для построения графиков, и получаем линии уровня

Рис.2. Линии уровня

3.5. Выполнение задания 2.2.10

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции f(x,y) в том же прямоугольнике, что и в предыдущем задании. Составим для этого в среде MATHCAD-7 следующую программу, которая просматривает путём перебора точки внутри прямоугольника с шагом hx по оси Х и с шагом hy по оси Y.

Получен ответ: при х = 3, у = 0.5 функция z = f(x,y) принимает минимальное значение z_min = -5.965; при х = 2.5, у = 0.7 функция

z = f(x,y) принимает максимальное значение z_max = -3.53.

4. Указания к решению наиболее сложных заданий

4.1. Пример выполнения задания 2.2.11

Пусть . Найдём частные производные , , , , . Найдём критические точки, решая систему . Из первого уравнения . Подставляем во второе уравнение и получаем

, откуда , .

Исследуем функцию z(x,y) на экстремум в точке (х₀,у₀), применяя до-статочный признак. Найдём значения вторых частных производных в точке (х₀,у₀).

, , .

Дискриминант .

Приходим к заключению: так как D > 0, A > 0, то в точке (х₀, у₀) имеется локальный минимум, равный z_min = 10.428.

4.2. Пример выполнения задания 2.2.12

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике , достаточно составить общий список точек, «подозрительных» на глобальный экстремум, и найти те из них, в которых глобальный экстремум достигается. В этот список войдут:

1. точки локального экстремума внутри области;

2. вершины прямоугольника;

3. точки на сторонах прямоугольника, в которых производная функции z (как функции одной переменной) обращается в нуль или не определена.

Найдём критические точки на сторонах прямоугольника.

1. х = 0.2. Тогда , .

Находим . Точка (0.2; 1.183) лежит на стороне прямоугольника и входит в список «подозрительных», точка (0.2; -1.183) находится за пределами области и не рассматривается.

2. х = 2. Тогда , .

Находим . Точка (2; 3.742) лежит в нашей области, точка (2; -3.742) вне области и не рассматривается.

3. у = 0.5. Тогда , .

Находим . Точка (0.655; 0.5) лежит в нашей области, точка (-0.655; 0.5) вне области и не рассматривается.

4. у = 4. Тогда , .

Находим . Точка (1.852; 4) лежит в нашей области, точка (-1.852; 4) вне области и не рассматривается.

Теперь запишем общий список точек, «подозрительных» на глобальный экстремум, и найдём значения функции в этих точках.

Таблица 4.1