Введение

Данные методические указания содержат задания для контроля знаний студентов по темам: “ Геометрические приложения определённого интеграла и функции нескольких переменных. ”. Предусмотрены 3 уровня сложности. Для каждого из них предлагается одно теоретическое упражнение и практические задания, соответственно уровню, с номерами:

Выбор уровня сложности

Первый уровень: 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.11, 2.2.13.

Второй уровень: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.11, 2.2.12, 2.2.13.

Третий уровень: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11, 2.2.12, 2.2.13.

Представлено 50 индивидуальных вариантов к заданиям 2.1.1, 2.1.2 и 2.2.1- 2.2.13, и по 26 вариантов к заданиям 2.1.3, 2.1.4. Номер варианта даёт лектор, который проводит общую нумерацию студентов в потоке.

При выполнении каждого из заданий рекомендуется применение ЭВМ, пакета MATHCAD и специальных программных разработок кафедры. Задания 2.2.2, 2.2.3, 2.2.9, 2.2.10 предполагают обязательное решение только на ЭВМ, для остальных заданий требуется представить ручное решение, а ЭВМ используется для получения верных ответов и уменьшения объёма арифметических вычислений. Необходимые инструкции по использованию программного обеспечения даны в данных методических указаниях.

Представлены также указания по выполнению и рассмотрены примеры к наиболее сложным заданиям 2.2.11, 2.2.12.

Для подготовки к защите модуля представлен список контрольных вопросов.

Для выполнения теоретических упражнений можно использовать материал, изложенный в следующих пособиях:

Для упражнений 1-19: [2, гл. 12, §§1-8, 415-433сс.],

[1, гл. 6, §§6-7, 359-377сс.].

Для упражнений 20 - 25: [2, гл. 8, §§1-17, 236-271сс.],

[1, гл. 7, §§1-4, 404-439сс.].

1. Теоретические упражнения

1. Вывести формулу площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в декартовых координатах.

2. Вывести формулу площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически уравнениями в декартовых координатах.

3. Вывести формулу площади плоской фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярных координатах.

4. Вывести формулу длины дуги плоской кривой, заданной уравнением в декартовых координатах.

5. Вывести формулу длины дуги плоской кривой, заданной уравнением в полярных координатах.

6. Вывести формулу длины дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями.

7. Вывести формулу длины дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями.

8. Вывести формулу объёма тела, полученного вращением дуги плоской кривой вокруг оси ОХ, заданной уравнением в декартовых координатах.

9. Вывести формулу объёма тела, полученного вращением дуги плоской кривой вокруг оси ОУ, заданной уравнением в декартовых координатах.

10. Вывести формулу объёма тела, полученного вращением дуги плоской кривой вокруг оси ОХ, заданной уравнением в полярных координатах.

11. Вывести формулу объёма тела, полученного вращением дуги плоской кривой вокруг оси ОХ, заданной параметрическими уравнениями.

12. Вывести формулу площади боковой поверхности тела, полученного вращением дуги плоской кривой вокруг оси ОХ, заданной уравнением в декартовых координатах.

13. Вывести формулу площади боковой поверхности тела, полученного вращением дуги плоской кривой вокруг оси ОХ, заданной уравнением в полярных координатах.

14. Вывести формулу площади боковой поверхности тела, полученного вращением дуги плоской кривой вокруг оси ОХ, заданной параметрическими уравнениями.

15. Вывести формулу для нахождения статического момента плоской фигуры относительно оси ОХ.

16. Вывести формулу для нахождения статического момента дуги плоской кривой относительно оси ОХ.

17. Вывести формулу для нахождения момента инерции плоской фигуры относительно оси ОХ.

18. Вывести формулу для нахождения центра масс дуги плоской кривой.

19. Вывести формулу для нахождения центра масс дуги плоской фигуры.

20. Вывести формулу для нахождения производной функции, заданной неявно.

21. Доказать теорему о смешанных частных производных. Рассмотреть случай производных 2-го порядка от функций 2 переменных.

22. Вывести формулу для нахождения производной по направлению от функций 2-х переменных.

23. Вывести формулу Тейлора для функций 2-х переменных.

24. Доказать необходимые условия экстремума функции 2-х переменных.

25. Вывести достаточные условия экстремума функции 2-х переменных.