§ 8. Искажения в картографических проекциях

Карте присущи искажения длин, площадей, углов и форм. Искажения длин на карте выражаются в том, что масштаб длин на ней изменяется при переходе от одной точки к другой, а также при изменении направления в данной точке. Вследствие этого соотношения линейных размеров географических объектов передаются с искажениями. Искажения площадей выра­жаются в том, что масштаб площадей в разных местах карты различен и нарушаются соотношения площадей различных гео­графических объектов. Искажения углов заключаются в том, что углы между направлениями на карте не равны соответствую­щим углам па поверхности и, следовательно, не равны соответ­ствующим углам на местности. Углы между линиями очертаний географических объектов искажены. Это приводит к нарушению форм самих объектов. Искажения форм заключаются в том, что фигуры объектов на карте не подобны фигурам соответствую­щих географических объектов на местности. Все виды искажений на карте связаны друг с другом, и изменение одного из них вле­чет за собой изменение других. Особый характер имеет связь между искажениями площадей и углов. Они на карте как бы на­ходятся в противоречии друг с другом и уменьшение одного из них тут же влечет за собой увеличение другого. Нет карт без искажений, однако имеются карты, в которых либо отсутствуют искажения углов, либо отсутствуют искажения площадей, либо искажения углов и площадей как бы уравновешены.

Показателем искажений длин в данной точке по данному на­правлению является частный масштаб длин р, выражаемый в до­лях главного масштаба. Он может быть больше главного (на­пример, 2,32) и меньше его (например, 0,81). Масштаб р. меняет свою величину в данной точке в зависимости от направления. По одному из направлений в данной точке масштаб длин имеет наи­большее, а по другому — наименьшее значение. Эти направления взаимно перпендикулярны, и их называют главными на­правлениями. Наибольший масштаб длин обозначим через а', наименьший — b'. Особо выделяют частные масштабы длин по ме­ридианам — т и по параллелям — п. Иногда в качестве показате­лей искажения длин берут не значения масштабов µ, a', b, m и n, а их отличие от единицы, т. е. µ—1, а'—1, b'—1, m—1 и n—1. Этот показатель называют относительным искажением длин и часто выражают в процентах. Например, если а' = 1,62, то а'—1=62%- В некоторых случаях искажение длин оценивают логарифмом частного масштаба длин, например, ln µ . Если иска­жений длин в данной точке нет, т. е. µ =1, то

ln µ = 0.

Показателем искажений площадей принимают частный мас­штаб площадей р, выражаемый в долях главного масштаба пло­щадей. Он также может

быть больше или меньше единицы. Вме­сто р используют относительный показатель р—1, часто выражае­мый в процентах, и ln р.

Величина искажения угла в данной точке карты зависит от направления сторон угла. Поэтому в качестве показателя иска­жения углов на карте принято наибольшее искажение ω. Наи­меньшее искажение углов в данной точке карты всегда равно пулю. В любой точке карты всегда имеется угол, который изобра­жается без искажений. Это угол между главными направле­ниями, который всегда равен 90°. Кроме го используется показа­тель для характеристики угла между изображениями на карте линий меридианов и параллелей. Этот угол на карте в общем случае не равен углу между меридианом и параллелью и обозна­чается 0, а его отклонение от значения угла между меридианом п параллелью на поверхности относимости, характеризующее его искажение,— ε. На шаре или на эллипсоиде вращения меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами. Поэтому для указанных поверхностей относимости ε = 0 — 90°.

Искажения форм (как и углов) являются следствием того, что частный масштаб длин по разным направлениям различен. По­этому отношение К=а'/b' характеризует искажения форм. Чем больше отличается величина а' от b', тем сильнее вытянут в на­правлении а' контур па карте. Показатель К характеризует иска­жение форм бесконечно малых фигур. Для конечных фигур он является приближенным показателем. Он достаточно хорошо от­ражает искажения форм относительно малых географических объектов, таких, как Крымский полуостров, остров Тасмания и даже Кольский полуостров. Но для крупных объектов, таких, как материки и даже как остров Гренландия, он неточен.

Используют и другие показатели, например,

; ;

Показатель σ₂ учитывает как искажения площадей, так и иска­жения форм (углов). Если его рассматривать как вектор в си­стеме координат (рис. 11), то угол α = arctg(K—1)/(р—1), опре­деляющий поворот этого вектора, характеризует соотношения искажений площадей и искажений углов: при α = 0 нет искажений углов, при отсутствии искажений площадей α = 90°; при α = 45° искажения форм и площадей уравновешены, т. е. К— 1—р—1-

Наиболее полно все виды искажений в данной точке карты можно представить в виде эллипса искажений. Эллипс ис­кажений в данной точке карты изображает бесконечно малый круг на поверхности относимости. Его полуоси равны величинам а' и b' они ориентированы по главным направлениям. Ра­диус-вектор эллипса искажений может быть ориентирован по лю­бому направлению и определяет частный масштаб длин по этому направлению. Форма эллипса характеризует искажения углов и форм — они искажены тем больше, чем больше эллипс отличается от окружности. Площадь эллипса пропорциональна искажению площадей и тем она больше, чем больше искажены площади.

Желая показать па карте эллипсы искажений, условно прини­мают радиусы бесконечно малых окружностей на шаре или эл­липсоиде равными конечной величине (например, 5 мм в мас­штабе карты). Тогда все показываемые на карте эллипсы также примут конечные величины (рис. 12). Их можно сравнивать между собой и сопоставлять с показанными на карте, где нет искажений или отсутствует один из видов искажений. Величины и характер искажений, которые каждый эллипс демонстрирует, следует относить к точке карты, в которой находится центр эллипса.

Определяя по карте или вычисляя по формулам частные мас­штабы длин по меридианам m и параллелям n и угол между ними θ, легко вычислить параметры эллипса искажений (рис. 13). Полуоси эллипса искажений а' и b' (для шара или эллипсоида вращения) находят по формулам

; ;

Азимут на карте большой оси эллипса вычисляют по формуле

Рис. 12. Эллипсы искажений северо-восточной части миро­вой карты, построенной в поликоничсской проекции ЦНИИГАиК (вариант БСЭ)

Зная а', b', m, п, θ и β, нетрудно построить эллипс искажений в заданной точке карты. По этим данным легко найти и другие показатели искажений. Частный масштаб длин µ по произволь­ному направлению, определяемому азимутом α на карте, можно найти по формуле

Если азимут направления задан на эллипсоиде и равен А, то

µ= a'² cos² (А — А₀) + b'² si п² (A—А ₀), где

Частный масштаб площади вычисляется по формулам

p= a'b' = тп sin θ = тп cos ε.

Для оценки максимальных искажений углов ω может быть ис­пользована любая из следующих формул:

; ;

В пределах карты величины искажений изменяются. В неко­торых картографических проекциях имеются центральные точки или линии, в которых искажения (обычно углов) невелики и с удалением от них вначале медленно, а затем ускоренно возра­стают. Скорость этого возрастания в разных направлениях мо­жет быть различной. Обычно на картах имеются точки или ли­нии, в которых искажения отдельных или всех видов отсутствуют.

Это точки и линии нулевых искажений. На карте могут быть одна- две точки или линии нулевых искажений. Места на карте с мак­симальными искажениями обычно наиболее удалены от линий пли точек нулевых искажений. Чтобы обеспечить возможно мень­шую величину максимальных искажений, точку или линию нуле­вых искажений располагают в центре карты.. Когда линия замк­нута или имеются две линии, их располагают так, чтобы удаления от них к середине и к краям карты были примерно одинаковыми. Как изменяются искажения при удалениях от точек или линий центральных или нулевых искажений, удобно показывать изоко- лами. Изоколы — линии, соединяющие точки с одинаковой ве­личиной того или иного показателя искажений. Изоколы показывают на макетах карт. Обычно в некоторых атласах, а также и учебных пособиях по математической картографии приводятся макеты с изоколами р и ω. Другой способ показа величин иска­жений

— это составление таблиц с определенным набором показа­телей искажений.