Архтектура и ПО вычислительных систем и сетей

(переписать лекцию 1)

Разделы:

1. Обзор (комп. Математики)

2. Hadrware

3. OC (Mac, Windows, Linux)

4. Вычислительные сети

5. Языки и сист. Программирование

6. Технология программирования

Компьютер оперирует не только цифрами

Компьютерная математика обрабатывает не числовые данные

1. Отношения.

Множества

Отношения

Функции

Алгебра

Опр. Набор упорядоченных кортежей вида

П_{(i=0; n)} А_i = { a_1, a_2, … a_n} , где а_i ͼ A_i

_{называется Декартовым произведением или множеством всех различных комбинаций}

Лекция 2

Отношения являются мат. Аппаратом при разработке и использовании баз данных

При использовании графа ребро между вершинами задает отношения (связывает) их.

Над отношениями можно выполнять теоретико-множественные операции (напр. Объединение, пересечение, симм. Разность)

Классы отношений. эквивалентные отношения – рефлексивны, симметричны, транзитивны. Вместо того, чтобы изучать все элементы – достаточно изучить один эл-т каждого класса.

Классы образует разбиение в множестве по этим классам.

напр. Для отношения «числа равны по модулю 5» существует 5 классов: 1: {1,6,11,16…} 2: {2,7,12,17…} …. 5: {5,10,15…}

Отношения частичного порядка. Обладают свойствами:

1. Рефлексивны

2. Антисимметричны

   

   С

3. Транзитивны

E

D

B

A

A вкл B, B вкл C, D вкл C, E вкл C

Порядок частичный – не для всех элементов

Функции.

Отношения между А,В являются функциональными, если

ɏ a ͼ A |R(a)| <= 1 (или пусто)

a R b, b R a => a=b

b = f(a), F : AB

a ͼ A

b ͼ B

Область определения ф-ии

A’ ͼ= A

ɏ x ͼ A’

R(x) != ᴓ

т.е. существует f(x) ͼ B

Образ функции A’

f(A’) = { y ͼ B: y = f(x)}

F(A’)

A’

A | B A’ == A f(A’)==B

Область значений – это образ области опред.

f AB

Для любого X ͼ A существует у ͼ В: у=f(x)

|R(a)| = 1 для любого а ͼ А

f AA

Отображение множества А в множество В есть всюду определенное функциональное отношение

Свойства функций.

1. Сюрьективность (ф-я, обладающая этим св-вом называется Сюрьекция)

Сюрьективность – множество значений функции А является все множество В

(для любого подмножества А’ ͼ A f(A’)==B)

Другими словами, для любого У ͼ В существует х ͼ А такой, что у=f(x)

A B

A’

2. Инъективность (ф-я – инъекция) разные аргументы – разные значения. Для любого х1 и х2 ͼ А f(x1)=f(x2) => x1=x2

А В

3. Биективность (ф-я – биекция) Существует f^-1(y)=x  y = f(x)

Т.е. Между функциями монжо установить взаимно-однозначное соответствие.

DZ

A\B	1	2	3	4
a	(1)	1
B	1	(1)	1
c			(1)
d		1		(1)

A = {a,b,c,d} B = {1,2,3,4} 2) какими св-вами обладает?

У = 5x (биективна)

1. RR

2. NN

3) y=2sinx (не сюрьективна, не инъективна) a) RR b) R[-1;1]

Лекция 3

Операции.

Некая операция ф: Sⁿ  S

n=z n – колличество аргументов операции (местность)

SxS  S

2x6  12

Алгебра А = (S, ф₁, …. Ф_n)

Ф_{i –} операции, заданные на этом множестве.

Множество всех операций называется сигнатурой алгебры. (Ω)

Вектор местности (арности) называется Типом алгебры.

Некое подмножество s из S замкнуто относительно операций, если результат этой операции тоже принадлежит множеству S

Модель – множество, на котором заданы отношения.

М = (S, R) – множество и отношения

Алгебраические системы В = (S,Ω,R) – и множество, и операции и отношения.

Гомоморфизм и Изоморфизм

Предположим, у нас есть 2 алгебры.

Алгебра А = (K, ф1,….,ф_n)

Алгебра В = (L, ф1,….,ф_n)

(причем кол-во операций и их тип одинаковы в обоих множествах)

Тогда гомоморфизм – это такое отображение G

G: K  L (из K в L)

Для любого i от единицы до N

G (фi (x1,…,xm)) = Ψ_i (G(x1)….G(x_n))_, m<=m

(x,y) (x*y)

G G

(G(x),G(y)) G(x*y)

При гомоморфизме не имеет значения порядок выполнения действий. Либо в начале операция, а потом гомоморфное отображение, либо наоборот.

Изоморфизм - взаимно однозначный гомоморфизм.

Например – отрезок [0..1] изоморфен длине окружности, и всей оси вещественных чисел (мощность континуум)

На практике, для изучения сложного объекта можно изучать более простой, изоморфный ему.

Наличие изоморфного отображения сохраняет свойства алгебр, естественный их тип, сигнатуру.

Эндоморфизм.

Это гомоморфизм на себя (когда K и L тождественно равны)

Автоморфизм

Изоморфизм на себя (множества хоть и совпадают, но операции могут быть разными).

Основные свойства алгебраических операций.

1. Коммутативность (а+б == б+а )

2. Ассоциативность (а + (б + с) == (а + б) + с)

3. Дистрибутивность (а*(б+с) = а*б + а*с)

4. Единичный элемент

5. Обратный элемент

x/y, R-  R+ (обратный, единичный,

max(x,y) X,Y принадлежат N (коммутативность, ассоциативность)

A = ( P(В), v ^) (объединение и пересечение. Какое само множество В и опред его.

Лекция 4

В зависимости от того, какие свойства операций выполняются, алгебру относят к тому или иному типу. Операции делятся на операции типа сложения (аддитивные) и умножения (мультипликативные)

Тип алгебры	Мультипликативные Операции				Аддитивные Операции				Дистриб.	Синоним	Примеры
	Асс	Ед	Обр	Комм	Асс	Ед	Обр	Комм
Одна операц.
Группоид
Полугруппа	+										(N, +)
Моноид	+	+								Полугруппа с единицей	Язык (А, .) . – конкатенация Единичный элемент – пустой символ (лямбда)
Абелева полугруппа	+	+		+						Коммутативный моноид	(Z, *)
Группа	+	+	+							Моноид с обратным элементов
Абелева группа	+	+	+	+						Коммутативная группа	(Z, +)
2 операции
Кольцо	+				+	+	+	+
Поле	+	+	+	+	+	+	+	+	+		(R, +,-,*,/)

Графы

G – граф. G = (V, E), где V – множество вершин, а E – множество ребер.

Граф представляет собой отношения. Если вершины связаны ребром, то есть отношения, а если нет – то нет.

Обычный граф задает не рефлексивные и симметричные отношения, а ориентированный (заданы направления) наоборот.

Говорят, что ребро инцидентно вершинам.

Степень вершины – кол-во инцидентных ребер.

Висячие вершины – вершины со степенью 1.

Вершина со степенью 0 называется изолированной.

Способы задания.

1. Рисунок

2. Матрица смежности (связывает вершины ребрами)

   	1	2	3	4
   1		1
   2			1
   3				1
   4			1

3. Матрица инцидентности (связывает ребра вершинами)

	1	2	3	4
А	1	1
Б		1	1
В				1
г				1

Лекция 5

Звездный граф – лучи, исходящие из опр. Центра.

Двудольные. Все вершины разбиваются на 2 множества. Связи устанавливаются только между вершинами разных множеств

Полный граф. Связи устанавливаются между каждыми вершинами

Нагруженный граф. Вершинам и(или) ребрам сопоставлены числа

Однородный граф. Все вершины имеют одинаковую степень

Допустим есть некий граф G(V,E)

Рассмотрим такой G’(V’, E’)

Такой, что