3.2. Размещения, сочетания и перестановки без повторения (без возвращения)

Пусть дано множество , состоящее из n различных элементов. Из Е будем выбирать m элементов без повторения (без возвращения) последовательно по одному. Будем получать m-элементные подмножества множества Е ( ).

А) Если при этом порядок следования элементов важен, то будем получать упорядоченные m-элементные подмножества множества Е, отличающиеся друг от друга либо набором элементов, либо порядком их следования. Такие комбинации называют размещениями из n элементов по m без повторения (без возвращения). Их количество вычисляется по формуле:

.

Замечание: Для любого натурального n можно вычислить n-факториал по формуле: . При чем, принято считать, .

Пример:

Имеется 10 футбольных команд. Сколькими способами можно провести награждение этих команд медалями (золотой, серебряной и бронзовой)?

Решение: Из 10 команд нужно выбрать 3. Значит , а . При этом . Порядок следования элементов важен, т.к. если одни и те же элементы брать в разном порядке, то будем получать отличные варианты награждения. Кроме того, награжденная команда исключается из исходного множества команд (выбор без возвращения). Значит, полученные комбинации являются размещениями из 10 по 3 без возвращения. Количество таких комбинаций: . Итак, 720 способов.

Б) Если при этом порядок следования элементов не важен, то будем получать m-элементные подмножества множества Е, отличающиеся друг от друга только набором элементов. Такие комбинации называют сочетаниями из n элементов по m без повторения (без возвращения). Их количество вычисляется по формуле:

.

Пример:

В группе 10 человек. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных?

Решение: Из 10 человек нужно выбрать 3. Значит , а . При этом . Порядок следования элементов не важен, т.к. трое отобранных дежурных могут быть выбраны в разном порядке – суть от этого не меняется. Кроме того, выбранный дежурный исключается из исходного множества и не может быть выбранным снова (выбор без возвращения). Значит, полученные комбинации являются сочетаниями из 10 по 3 без возвращения. Количество таких комбинаций: . Итак, 120 способов.

Напомним, что имеем множество , состоящее из n различных элементов. Будем задействовать в комбинации все n элементов множества Е, получая при этом множества состоящие из различных элементов, т.е. комбинации без повторения и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Таким образом, получим размещениями без повторения, но , т.е. Такие комбинации называют перестановками из n элементов без повторения. Их количество вычисляется по формуле:

Пример:

Сколькими способами могут встать в очередь 5 студентов?

Решение: Из 5 студентов нужно задействовать в комбинации всех 5 студентов. Значит, в комбинации использованы все предоставленные элементы. Выбранный и поставленный в очередь студент исключается из исходного множества и не может быть выбранным снова (выбор без повторения). Значит, полученные комбинации являются перестановками из 5 элементов без повторения. Количество таких комбинаций: . Итак, 120 способами могут встать в очередь 5 студентов.