Жалпы жағдайда сенімді интервалдарды Чебышевтың теңсіздігі негізінде құруға болады:

Р{│x-x_ц│≤tS_x}≤1-1/t²

мұнда t – оң сан;

S_x – үлестіру орташа квадраттық ауытқу бағасы.

Яғни бірінші екі тәртіптің моменттерін иеленетін, кездейсоқ шаманы үлестірудің кез-келген заңы кезінде, х кездейсоқ шамасы ауытқуының х_ц үлестіру центрінен tS_x интервалына түсу ықтималдығының жоғарғы шекарасы, Чебышевтің теңсіздігімен сипатталады. Сенімді интервалды анықтау үшін өлшеулер нәтижелерін үлестіру заңын білудің керегі жоқ, бірақ ОКА бағалау қажет. Чебышев теңсіздігінің көмегімен алынған интервалдар, практика үшін тым кең болып шығады, сондықтан берілген моментте сенімді интервалдың квантиль бағаларын пайдаланады.

Негізгі әдебиеттер: 1-5

Қосымша әдебиеттер: 1, 4

Тақырып №3. Сызықты емес эконометрикалық модель

Егер экономикалық құбылыстар арасында сызықтық емес ара қатынасы бар болса, онда олар сәйкес сызықтық емес функциялар көмегімен өрнектеледі.

Сызықтық емес регрессияның екі классын ажыратады:

1. Ұғындырылатын айнымалылар талдауына енгізілген сызықтық емес туралы, бірақ бағаланатын параметрлер бойынша сызықтық регрессиялар, мысалы

– әртүрлі дәрежелер полиномы – , ;

– теңқабырғалы гипербола – ;

– жартылайлогарифмдік функция – .

2. Бағаланатын параметрлер бойынша сызықтық емес регрессиялар, мысалы

– дәрежелі – ;

– көрсеткіштік – ;

– экспоненциалды– .

Сызықтық емес регрессиялар енгізілген айнымалылар бойынша айнымалыны жай алмастыру арқылы сызықтық түрге келеді және ары қарай параметрлерін бағалау ең кіші квадраттар әдісі көмегімен жүзеге асырылады.

Екінші дәрежелі парабола алмастыру көмегімен сызықтық түрге келтіріледі. Нәтижесінде екі факторлы теңдеу аламыз, ЕККӘ көмегімен a, b, c параметрлерін бағалап, бұл ретте нәтижелі белгісінің теория жағынан тәуелді іс жүзіндегі мәнінің ауытқуларының квадраттарының қосындысы минимальдыға ұмтылады:

Өндірістік функция – өндірілетін өнімнің максималды көлемі мен берілген технология деңгейіндегі өндіріс факторларының физикалық көлемі арасындағы тәуелділікті сипаттайтын функционалдық өзара байланыс. Өндіріс көлемі қолданылатын ресурстардың көлеміне байланысты болғандықтан, олардың өзара тәуелділігін мына функционалдық байланыста жазуға болады:

Q = f (L, K, N, M),

мұндағы Q – берілген өндіріс факторларымен өндірілген өнімнің максималды көлемі; L – еңбек; K – капитал; N – жер; M – басқа да ресурстар; f – функция.

Берілген технология бойынша өндірістік функцияның бірқатар қасиеттері болады, олар өндіріс көлемі мен қолданылатын факторлардың саны арасындағы арақатынасты анықтайды. Өндірістің әр түрі үшін өндірістік функция да әртүрлі болып табылады, бірақ оларға тән ортақ жалпы қасиеттері бар. Сонымен, өндірістік функцияның негізгі қасиеттері мыналар болып табылады:

- белгілі бір өнім көлемін шығару үшін қолданылатын факторларды бір бірімен алмастыруға және толықтыруға болады, бірақ алмастыру мен толықтырудың шегі болады;

- өндірісте қолданатын белгілі бір факторлар тұрақты болса, онда басқа бір фактордың көлемін өзгерту арқылы өнім көлемін арттырудың шегін анықтауға болады;

- әрбір өндірістік функция белгілі бір технологиялық өзара тәуелділікті сипаттайды, ал технологиядағы өзгерістер өндірістік функцияның да формасын өзгертеді;

- өндірістік функция бір өнім көлемін алу үшін өндіріс факторларын қолданудың тиімді балама нұсқаларын сипаттайды;

- өндірістік функция факторлардың әрбір берілген үйлесімінде өнімнің максималды көлемін шығаруды сипаттайды;

- өндірістік функция өндіріс факторларының тек технологиялық жағынан тиімді үйлесімділіктерін ғана сипаттайды.

Регрессияның дербес теңдеуі жұптық регрессияға қарағанда нәтижеге факторлардың жекеленген әсерін сипаттайды. Басқа факторлардың әсерінің салдары көптік регрессияның теңдеуінің бос мүшесіне қосылған. Бұл регрессияның дербес теңдеуінің негізінде икемділіктің дербес коэффициенттерін анықтау мүмкіндігін береді:

,

мұндағы – көптік регрессияның теңдеуіндегі факторы үшін коэффициенті, – регрессияның дербес теңдеуі.

Негізгі әдебиеттер: 1-5

Қосымша әдебиеттер: 1, 4

Тақырып №4. Көптік регрессия және корреляция

Модельдеу кезінде зерттеу объектісіне ықпал ететін басқа факторлардың әсер етуін елемесек көптік регрессия жақсы нәтиже беруі мүмкін. Егер керісінше бұл ықпалды елейтін болсақ, онда бұл жағдайда ол факторларды модельге енгізе отырып, басқа факторлардың әсер етуін айқындау қажет, яғни көптік регрессияның теңдеуін құру керек:

,

мұндағы y – тәуелді айнымалы (нәтижелі белгі), – тәуелсіз, немесе түсіндірмелі айнымалы (белгілер-факторлар).

Көптік регрессия сұраныс, акциялардың табыстылығы мәселелерін шешуде, өндіріс шығындарының қызметін зерттеуде, макроэкономикалық есептеулерде және тұтас алғанда эконометриканың басқа бірқатар сұрақтарын шешуде кеңінен қолданылады. Көптік регрессияның негізгі мақсаты – модельденуші көрсеткішке әсерін анықтай отырып, көп факторлы модель құру.

Көптік регрессия теңдеуін құру модельдің спецификациясы туралы сұрағын шешуден басталады. Ол екі сұрақтан тұрады: факторды таңдау және регрессия теңдігінің түрін іріктеу. Көбінесе сызықтық және дәрежелі функция қолданылады.

Көптік регрессияға енгізілген факторлар тәуелсіз айнымалының вариациясын түсіндіруі қажет. Егер m факторлар жиынтығымен модель құрса, онда ол үшін детерминация көрсеткіші есептеледі. Моделге саналмайтын басқа факторлардың әсер етуін қалдық дисперсияға сәйкес сияқты бағаланады.

Регрессияға қосымшаны қосу кезінде детерминация коэффициенті өсуі керек, ал қалдық дисперсиясы кему керек:

және .

Факторлардың ішкі корреляциясын есептеу жолының бірі регрессияның қосарланған теңдеуіне, яғни тек факторлардың әсерін ғана емес, олардың өзара әрекеттесуін бейнелейтін теңдеулерге өту болып табылады. Егер , онда келесі қосарланған теңдеуді құруға болады:

.

Қарастырылатын теңдеу өзара әрекеттесудің бірреттігін (екі факторлардың өзара әрекетін) білдіреді.

Регрессияға енетін факторларды іріктеу регрессия әдісінің практикалық қолдануының бір маңызды этабы болып табылады. Корреляция көрсеткіштерінің негізінде факторларды іріктеу көзқарасы әртүрлі болуы мүмкін.

Көптік регрессия теңдеуін құрудың әдістерінің кеңінен таралғандары келесідегідей:

1. Алып тастау әдісі – оның толық жиынтығынан факторларды кейін қалдыру.

2. Қосу әдісі – факторды қосымша қосу.

3. Регрессиялық қадамдық талдау – ертерек енгізілген факторды алып тастау.

Көптік регрессия теңдеуінің әртүрлі түрлері: сызықтық және сызықтық емес болуы мүмкін.

Параметрлерінің интерпретациясының анықталағына байланысты сызықтық функция кеңінен қолданылуда. Көптік сызықтық регрессияда кезіндегі параметрлер регрессияның «таза» коэффициенттері деп аталады. Олар орта деңгейде бекітілген басқа факторлардың өзгермеген мәні кезінде сәйкес факторлардың 1 санына өзгеруінің орташа өзгеру нәтижесін сипаттайды.

Көптік регрессияның сызықтық моделін қарастырайық:

.

Көптік регрессияның сызықтық моделінің параметрлерін бағалаудың классикалық көзқарасы ең кіші квадраттар әдісіне (ЕККӘ) негізделген. ЕККӘ параметрлердің мынадай бағасын: нәтижелі белгінің шын мәндерінің ауытқуының квадраттар қосындысы есептік -тен минималдылығын алуға мүмкіндік береді:

.

Бәріңізге белгілі, бірнеше айнымалы функциялардың экстремумын табу үшін, әрбір параметр бойынша бірінші реттік дербес туындыны есептеу және оларды нөлге теңестіру керек. Демек, аргументіне келесі функцияны аламыз:

.

Бірінші ретті дербес туындыны табамыз:

Көптік регрессияның сызықтық теңдеуінің параметрлерін табу үшін элементарлық түрлендірулерден кейін сызықтық нормальды теңдеулер жүйесіне келтіреміз:

Екіфакторлы модель үшін берілген жүйе келесідей болады:

Бұл әдісті сол сияқты стандартталған масштабтағы көптік регрессияның теңдеуіне де қолдануға болады:

мұндағы – стандартталған айнымалылар: , , яғни орташа мәндері нөлге тең: , ал орташа квадраттық ауытқулары 1-ге тең: ; – регрессияның стандартталған коэффициенттері.

Стандартталған масштабтағы көптік регрессияның теңдеуіне ЕКӘ-сін қолдана отырып, келесі нормальды теңдеулер жүйесін аламыз

Мұндағы және – корреляцияның жұптық және факотрлар аралық коэффициенттері.

«Таза» регрессияның коэффициенттері регрессияның стандартталған коэффициенттерімен келесі түрде байланысқан:

.

Сондықтан стандартталған масштабтағы регрессия теңдеуінен (4) натуралды масштабтағы регрессия теңдеуіне (1) өтуге болады, мұнда a параметрі түрінде анықталады.

Көптік регрессияның сызықтық теңдеуі негізінде

регрессияның дербес теңдеулері табылуы мүмкін:

Мультиколлинеарлылық дегеніміз түсіндіруші айнымалылар арасындағы өзара жоғары корреляцияланатын байланыс. Мультиколлинеарлылық функционалды (айқын) және стохастикалық (жасырын) пішімдерде болады.

Мультиколлинеарлылықтың функиональды пішімінде түсіндіруші айнымалылар арасындағы жұп байланыстың біреуі сызықтық функционалды тәуелділік болып табылады. Бұл жағдайда X`X матрицасы ерекше болады, яғни сызықтық тәуелді вектор-бағандардан тұрады және оның анықтауышы нөлге тең, яғни регрессиялық талдаудың салдары бұзылады, бұл сәйкес нормальды теңдеулер жүйесін шешуге және регрессиялық модельдің параметрлерінің бағасын алуға мүмкін болмайтынына әкеледі.

Демек экономикалық зерттеулерде мультиколлинеарлылық кем дегенде екі түсіндіруші айнымалылар арасында тығыз корреляциялық байлансыс бар болғанда стохастикалық пішімде жиі көрсетіледі. Бұл жағдайда X`X матрицасы ерекше емес болып табылады, бірақ оның анықтауышы өте аз болады.

b вектор бағалау және оның ∑_b коварициялық матрицасы (X`X)<sup>-1</sup> кері матрицасына пропорционал, яғни олардың элементтері |X`X| анықтауыш шамасына кері пропорционал. Нәтижесінде b₀, b₁,…,b_p регрессия коэффициенттерінің маңызды орта квадраттық ауытқу (стандартты қателер) алады және t-критери бойынша олардың маңыздылығының бағасының мағынасы жоқ, жалпы алғанда регрессиялық модель маңыздылығы F-критери бойынша болуы мүмкін.

Мультиколлинеарлылықтың барын немесе жоғын анықтау үшін нақты сандық критерилер болмайды. Дегенменен, оның байқалуы бойынша кейбір эвристикалық жақындық бар.

Мұндай жақындықтың бірінің мәні X₁,X₂,…,X_p түсіндіруші айнымалылар арасындағы матрицаның корреляциялық талдауында және корреляцияның үлкен айнымалылары (әдетте 0,8-ден үлкен) бар болатын айнымалылар жұбын анықтауда жатыр. Егер мұндай айнымалылар бар болса, онда олардың арасында мультиколлинеарлылық бар делінеді. Сондай-ақ түсіндіруші айнмалылардың бірінің арасындағы бөлінудің (детерминация) көптеген коэффициенттерін табу пайдалы. Бөлінудің (детерминацияның) жоғары көптеген коэффициенттерінің (әдетте 0,6-дан үлкен) бар болуы мультикголлениарлықтың бар екендігін көрсетеді.

Келесі жақындық X`X матрицасын зерттеуден тұрады. Егер X`X матрицасының анықтауышы немесе оның минималды меншікті мәні λ_min нөлге жақынырақ болса, онда мультиколлинеарлылық бар дегенді білдіреді. Сонымен қатар мультиколлинеарлылық X`X матрицасының минималды меншікті мәнінен λ_min оның максималды меншікті мәнінің λ_max маңызды ауытқуын білдіреді.

Мультиколлинеарлылықты жою немесе азайту үшін бірқатар әдістер қолданылады. Ең қарапайым әдісінің бірі ол екі түсіндіруші айнымалылардың ішіндегі корреляцияның үлкен коэффициенті (0,8-ден үлкен) бар біреуін қарастырмай алып тастайтындығынан тұрады. Бұл жағдай кезінде талдаудан қай айнымалыны қалдыру, ал қайсысын жою керектігін экономикалық пікірлердің негізінде шешеді. Егер экономикалық көзқарас жағынан айнымалылардың ешқайсысын да қалдыруға мүмкін болмаса, онда екі айнымалының біреуін, яғни тәуелді айнымалы корреляцияның үлкен коэффициенті барын қалдырады.

Мультиколлинеарлылықты жою немесе азайту үшін келесі бір әдісі ең кіші квадраттар әдісімен анықталған ығыстырылмаған бағадан бағаланатын параметр қатысты кiшi шашыратуға, яғни β_j параметрінен b_j бағасының ауытқуының квадратының кіші матемаикалық күтіміне немесе M (b_j - β_j)² ие болатын ығыстырылған бағаға ауысуына негізделген.

Вектормен анықталатын бағалар Гаусс-Марков теоремасына сәйкес барлық сызықтық ығыстырылмаған бағалау класында минималды дисперсияға ие болады, бірақ мультиколлинеарлылық бар болған кезде бұл дисперсиялар өте үлкен болуы мүмкін және сәйкес ығыстырылған бағалауға үндестігі (обращение) регрессия параметрлерінің дәлдік бағалауын жоғарылатуы мүмкін. Суретте көрсетілгендей, β_j^{^} ығыстырылған баға бұл φ ( β_j^{^}) тығыздығымен берілген ішінара үлестірілу.

Демек, (β_j-Δ, β_j+Δ) - β_j бағаланатын параметр үшiн сенiмдi интервал барынша мүмкiн мәнi бойынша берілген. Сонда сенімді ықтималдылық немесе (β_j-Δ, β_j+Δ) интервалындағы үлестiрiлулерi қисық астында ауданмен анықталатын бағалаудың үміттілігі b_j-мен салыстырғанда β_j бағалауы үшін үлкен. Сәйкесінше бағаланатын параметрден бағаның ауытқуының орташа квадраты ығыстырылған бағалау үшін аз болады, яғни:

M ( β_j^{^}- β_j )² < M ( b_j - β_j )²

Әрбір коэффициенттің маңыздылығын тексергеннен кейін, регрессия теңдеуінің жалпы сапасы тексеріледі.

Осы мақсатпен детерминация коэффициенті пайдаланылады, жалпы жағдайда келесі формула бойынша анықталады:

Жалпы жағдайда . Коэффициент 1-ге жақындаған сайын регрессия теңдеуі Y-тің өзгерісін дәлірек анықтайды. Сондықтан регессияны үлкен бойынша тұрғызу – табиғи құбылыс, кейбір жағдайларда ығыспаған баға алу үшін, детерминация коэффициенті формуласындағы бөлшектің алымы мен бөліміне еркіндік дәрежесіне тең болатындай түзетулер енгізіледі. Түзетілген детерминация коэффициенті енгізіледі:

.

Негізгі әдебиеттер: 1-5

Қосымша әдебиеттер: 1, 4