3. Правила суммирования погрешностей

Погрешности сложных измерительных приборов зависят от погрешностей отдельных узлов (блоков), также как и погрешности ряда систем и комплексов зависят от погрешности отдельных РИП, преобразователей, мер.

1. Систематические погрешности, если они известны или достаточно точно определены, суммируют алгебраически (т.е. с учетом собственных знаков).

Когда виды погрешностей не определены, их учитывают как случайные (рандомизинируют).

2. Случайные погрешности (среднеквадратические оценки) суммируют с учетом их взаимных корреляционных связей. Например, для двух погрешностей:

, где  (-1;+1) - коэффициент корреляции. На практике обычно принимают  = 0;-1;+1. При  = 0 суммирование геометрическое. При  = 1 суммирование алгебраическое: _ = ₁  ₂.

Некоррелированные погрешности (вызванные независимыми причинами) всегда суммируются геометрически: .

Чем больше n, тем ближе итоговое распределение к нормальному.

При оценке влияния частных погрешностей на результат используют критерий ничтожной погрешности, в соответствии с которой, если вклад от составляющей i-й погрешности приводит к изменению суммарной не более, чем на 5%, то погрешность признается ничтожной.

Принимая во внимание, что ²_ = (_{ k})² + ²_i , критерий ничтожности имеет вид: _i  0.3_. Иногда рассматривают совокупность ничтожных погрешностей:

При округлении окончательного результата могут быть опущены: одна малая составляющая, если она в 5 раз меньше наибольшей из суммируемых составляющих, две составляющие, если они в 7 раз меньше, и четыре, если они в 8 раз меньше наибольшей. Но делать такое заключение можно только после суммирования коррелированных составляющих и приведенных числовых значений погрешности к одному виду.

4. Погрешности косвенных измерений

Особенность косвенных измерений состоит в том, что величина А, значение которой надо измерить, является известной функцией ƒ ряда других величин — аргументов х₁, х₂, …, х_m. Данные аргументы подвер­гаются прямым измерениям, а величина А вычисляется по формуле

A = ƒ(х₁, х₂, …, х_m).

Таким образом, при косвенных измерениях искомое значение находится на основании известной функциональной зависимости по результатам прямых измерений. Определение погрешности базируется на двух теоремах:

Теорема 1:

Если функциональная зависимость линейная:

Y =C₀ + C₁X₁ + C₂X₂ + ... + C_gX_g,

где C₀, C₁, ...,C_g - постоянные коэффициенты; X₁, X₂, ..., X_g - измеряемые прямым путём аргументы; тогда абсолютные систематические погрешности суммируются с теми же коэффициентами: Y_сист = C₁X₁ + C₂X₂ +,...,+ C_дX_д, а среднеквадратическая погрешность находится по формуле:

,

где X_i - абсолютные систематические погрешности измерения X_i;

_i - среднеквадратические погрешности измерения X_i.

Теорема 2:

Если функциональная зависимость представляет собой нелинейную дифференцируемую функцию Y = f (X₁,X₂,...,X_g), тогда абсолютные систематическая и случайная погрешности определяются по формулам:

.

Если погрешности коррелировы, тогда:

,

где K_ij - корреляционный момент: K_ij =_ij _i_j.

Величину  - выбирают равной 1 при наличии корреляции или 0, если её нет.

Необходимо отметить, что при косвенных измерениях ошибки вычислений должны быть на порядок меньше погрешностей непосредственных измерений аргументов, в противном случае надо учитывать погрешности вычислений как независимые составляющие.

Доверительные границы случайной погрешности и неисключенных систематических погрешностей. При косвенных измерениях, как и при многократных наблюдениях прямых измерений, оценка результата измерения является случайной величиной и отличается от истинного значения. По­этому практический интерес имеет оценка доверительного интервала , в котором находится А_и с заданной доверительной веро­ятностью Рд, где ± _г — доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения.

При условии распределения плотности вероятности погрешностей ре­зультатов измерения всех аргументов функции по нормальному закону граница _г вычисляется по формуле:

где t(Рд, п) - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Рд; — оценка среднеквадратического отклонения случайной погрешности косвенного измерения.

Граница  неисключенных систематических погрешностей результата косвенного измерения вычисляется без учета знака по формуле

здесь _i — заданные границы результатов измерений неисключенных систематических погрешностей аргументов; k — поправочный коэффи­циент, значения которого вычисляются с учетом задаваемой доверительной вероятности Рд для оценки значения , а также числа т составляющих _i.

Границы погрешности результата косвенного измерения. Суммарные границы ± погрешности результата косвенного измерения вычисляют с учетом границы НСП  и доверительной границы  случайной погрешности в зависимости от отношения , где — оценка среднеквадратического отклонения случайной погрешности косвенного измере­ния. Порядок такого учета аналогичен соответствующему учету для однократных прямых измерений, где коэффи­циент К зависит от задаваемой доверительной вероятности (Рд = 0,95 или Рд = 0,99) и отношения .