Треугольный закон распределения плотности вероятности

Для этого закона вероятность то­го, что погрешность из­мерения  располагается в интервале (-_r1, _r1):

Заштрихованная область численно равна вероятности, определяемой последней по формуле.

В практике радиоизмерений используются и другие законы расп­ределения погрешностей (например, трапецеидальный, арксинуса и др.). В частности, трапецеидальный закон является композицией двух равномерных с различными значениями максимальных погреш­ностей _m. Если трапецеидальный закон распределения неизвестен, то обычно принимают равномерное распределение погрешностей.

Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с разным отношением оснований трапеции. Так, например, общая погрешность протяженности временного интервала в электронных цифровых частотомерах оказывается распределенной по треугольному закону Симпсона, так как образуется из двух равных равномерно распределенных погрешностей определения его концов.

Арксинусный закон распределения. Одной из составляющих погрешности, характерной для электрических средств измерений является погрешность от наводки на входе прибора или линии связи синусоидального напряжения силовых цепей с частотой 50 и 400 Гц. Эта помеха, складываясь с полезным сигналом, создает, как правило, аддитивную погрешность и в ряде случаев ограничивает порог чувствительности измерительного устройства. Распределение такой погрешности называется арксинусоидальным. Распределение суммы двух синусоидально изменяющихся во времени с разными частотами величин является композицией двух арксинyсоидальных распределений. Если они имеют разные размахи, то их композиция имеет два пика.

В общем случае погрешность ре­зультата измерения представляет собой сумму систематической _c и случайной  погрешностей. При этом рассеяние значений случайной погрешности происходит относительно некоторого центрального значения, равного величине систематической погрешности.

Здесь m - максимальная погрешность центрированной погрешности.

Законы распределения погрешностей с центром с

Для количественной оценки систематической составляющей погрешности измерений _с и рассеяния случайной погрешности  обычно используются две числовые характеристики случайной величины — математическое ожи­дание М() и дисперсия D = ² соответственно:

Для оценки величины разброса случайных погрешностей относительно центра, т.е. ширины распределения, на практике используются различные приемы, приводящие к существенно разным результатам. "Предельная", или "максимальная", оценка случайной погрешности теоретически справедлива только для ограниченных распределений (равномерного, трапецеидального, треугольного, арксинусоидального и т.п.). Для этих распределений действительно существует такое значение  _m, которое ограничивает с обеих сторон возможные значения случайной величины. Однако эти распределения являются лишь теоретической идеализацией. Главным недостатком такой оценки является бессмысленность арифметического суммирования “предельных” значений, так как получаемая сумма может превышать действительные погрешности в несколько раз.

На основании этого вводится понятие квантильных оценок погрешности, т.е. значений погрешности с заданной доверительной вероятностью Р_д, как границ интервала неопределенности, на протяжении которого встречается Р_д 100 процентов всех значений погрешности, (1- Р_д)100 процентов общего числа их значений остаются за границами этого интервала.

В теории и практике оценки надежности средств автоматики, электронной и измерительной техники общепринятая доверительная вероятность равна 0.9. Удобней всего доверительную погрешность снабжать индексом, численно равным принятой доверительной вероятности, т.е. писать, например ^0.90 при Р_д =0.9, ^0.95 при Р_д =0.95.

Доверительная погрешность обладает тем уникальным свойством, что для широкого класса наиболее употребительных законов распределения вероятностей только она имеет однозначное соотношение со средним квадратическим отклонением в виде ^0.9 =1.6 вне зависимости от вида распределения. Поэтому при отсутствии данных о виде закона распределения для определения двусторонней доверительной вероятности предписывал использование только Р_д=0.9. Практическое определение _д сводится к тому, что из всех полученных отсчётов отбрасываются наиболее удаленные от центра, а следовательно, самые ненадёжные отсчёты. Если при переменной n (количество измерений) отбрасывается постоянная относительная доля всех отсчётов, то определяемое по крайним членам оставшегося вариационного ряда значение _д, в отличии от _m, с ростом длины n серии отсчётов не возрастает, а стабилизируется и оказывает тем более устойчивым, чем больше объём выработки n, не уступая по простоте определения “максимальному” значению _m. При этом следует иметь в виду, что по ограниченным экспериментальным данным мы получаем не точные доверительные значения, а лишь их приближённые значения - ОЦЕНКИ. Достоверность квантильных оценок резко повышается с понижением значений Р_д, а при постоянном Р_д - с ростом числа отсчётов n. Поэтому квантильные оценки с большими доверительными вероятностями могут быть найдены только при большом числе отсчётов.

Располагая рядом из n отсчётов и отбрасывая с каждого из концов ряда по n_отб отсчётов, можно определить с доверительной вероятностью, не большей, чем Р_д  (n-1) / (n+1). Отсюда число отсчётов n, необходимое для определения по экспериментальным данным с заданной вероятностью Р_д, будет не меньшим, чем n  (1+Р_д+2n_отб) / (1-Р_д)  [2(1+n_отб)] / (1-Р_д). Для различных значений Р_д и n_отб = 1 приведено ниже:

Р_д .......................... 0.8 0.9 0.95 0.98 0.99 0.995 0.997

n ............................20 40 80 200 400 800 1333

Таким образом, по экспериментальным данным легко определить значение _д лишь с доверительной вероятностью Р_д  0.95 (n = 80), а определение ^0.99 или ^0.997 практически трудноосуществимо ( нужно n > 400-1333).

Часто доверительные погрешности рассчитывают, вводя ничем не обоснованное предположение о том, что вид закона распределения погрешностей будто бы точно известен. В частности, используют прием, заключающейся в вычислении по небольшой выборке в 20-30 отсчетов оценки среднего квадратического отклонения , а затем указывают погрешность с доверительной вероятностью Р_д = 0.997, равную ^0.997 = 3 на основании предположения о нормальности закона распределения. Однако такой прием является не корректным.

Гистограммы

Выборки х_i i =(1,…n), полу­ченные в отдельных измерениях величины х при наличии случайных оши­бок, можно представить на диаграмме в виде столбцов. При построении все выборки х_i, полученные в измерениях, следует расположить на не­больших интервалах шириной Δх, а затем отложить число выборок N(x), по­павших в эти интервалы. Обычно размер интервалов выбирается по правилу:

Δх = (x_max – x_min)/ n^1/2, где К= n^1/2 – число столбцов диаграммы .

Для n<25 значение Δх лучше определить по правилу Старджеса (Sturges):

Δх = (x_max - x _min)/(1 + 3,3 log n).

Если ширину интервала Δх выбрать слишком малой, то «огибающая» диаграммы будет сильно изрезанной. При слишком большом значении Δх «огибающая» оказывается квантованной очень грубо, и форма распреде­ления проступает не так явно.

Можно построить нормализованную диаграмму, откладывая N(x)/n. Тогда по вертикали указывается относительное число измерений, результаты которых лежат в данном интервале. В этом случае можно утверж­дать, что по оси ординат отложена вероятность попадания результата измерения в данный интервал. Кроме того, можно провести нормализа­цию и по ширине интервала Δх, откладывая N(x)/(nΔх). Диаграмму, получающуюся в результате нормализации, обычно называют гистограммой.

Если число выборок п растет, а диапазон х_max — х_min остается в ограничен­ных пределах, как это бывает на практике при измерении всех физических величин, то число интервалов, на которые разбивается этот диапазон, и число столбцов в гистограмме, увеличиваются, тогда как ширина одного интервала Δх уменьшается. При п - ∞ огибающая гистограммы переходит в гладкую кривую. Такая (дважды) нормализованная гистограмма является плотностью распределения вероятностей

Или

Диаграммы: (а) при правильном выборе ширины интервалов Δх, на которые разбивается весь диапазон возможных значений х; (b) при слиш­ком больших значениях Δх; (c) при слишком малых значениях Δх.

Это означает, что f(x)dx есть вероятность того, что значение выборки попадает в интервал между х и х+dx; отсюда и следует название: плотность распределения вероятности. Из последнего равенства следует, что

Интеграл в этом выражении представляет собой сумму всех вероятнос­тей f(x)dx. Он равен вероятности того, что очередная выборка попадет в первый интервал ширины dx, или во второй, или в третий и т. д. Так как результат измерения должен принадлежать одному из этих интервалов, сум­ма должна равняться 1. Последнее соотношение показывает, что единице равна площадь под плотностью распределения вероятностей (что и достига­ется, главным образом, путем двукратной нормализации). Зная плотность распределения вероятностей, легко найти веро­ятность того, что результат очередного измерения х окажется меньше опре­деленного значения а. Обозначая эту вероятность Р (х < а), получим:

Лекция 7: подготовка и пРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ