
- •Раздел 1. Непрерывные математические модели.
- •Раздел 2. Дискретные и математические модели модели.
- •Раздел 3. Компьютерное моделирование.
- •Раздел 4. Информационные экспертные системы.
- •Раздел 5. Объектно-ориентированное моделирование процессов.
- •1. Модели динамического программирования. Вывод основных рекуррентных соотношений дп. Принцип оптимальности Беллмана.
- •2. Системы массового обслуживания: структуры, дисциплины обслуживания и другие характеристики.
- •3. Элементы теории входящего потока. Пуассоновский поток.
- •4. Марковские системы массового обслуживания
- •5. Некоторые задачи теории надежности
- •6. Основные понятия имитационного моделирования. Имитационное моделирование
- •Типы имитационных моделей
3. Элементы теории входящего потока. Пуассоновский поток.
Пуассоновским потоком называют ординарный поток заявок с отсутствием последействия, у которых количество заявок, поступающих в систему за промежуток времени t распределено по закону Пуассона:
, t>0, λ>0 (*)
где Р(k,t) - вероятность того, что за время t в систему поступит ровно k заявок
λ - интенсивность потока
Математическое ожидание и дисперсия для закона Пуассона:
М[T]=D[T]=λ*t
Пуассоновский поток может быть как стационарным, так и нестационарным, если
интенсивность является функцией от времени: λ=λ(t).
Простейший поток можно рассматривать как стационарный Пуассоновский поток.
Формула (*) отражает все свойства простейшего потока, если λ не зависит от времени (или если λ константа).
Из формулы (*) видно, что вероятность появления k событий за время t является функцией от k и от t, что характеризует свойство стационарности.
Формула (*) не использует информацию о появлении событий до начала рассматриваемого момента времени, что характеризует свойство отсутствия последействия.
Можно убедиться, что формула (*) отражает и свойство ординарности.
Положив k=0 и 1, найдем соответственно вероятности непоявления событий и появления одного события (заявки).
Следовательно, вероятность появления больше чем одного события (заявки) можно найти через противоположное событие.
Воспользуемся разложением в ряд функции
Далее неразборчивый пример
Сравнивая значение Р(1,t) и Р(k>1,t), видно, что при малых значениях t вероятность появления более одного события по сравнению с вероятностью появления одного события пренебрежимо мала, что характеризует свойство ординарности.
Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.
Однако в распределении Пуассона длительности интервалов между
последовательными заявками - это случайные величины с экспоненциальным законом распределения.
Если нестационарный поток, интенсивность которого представляет собой функцию от времени λ=λ(t) описывается законом распределения Пуассона, то такой поток называется Пуассоновским, а не простейшим.
Входящий поток. Для задания входящего потока требований необходимо описать моменты времени их поступления в систему (закон поступления) и количество требований, которое поступило одновременно. Закон поступления может быть детерминированный (например, одно требование поступает каждые 5 мин) или вероятностный (требования могут появляться с равной вероятностью в интервале 5±2 мин). В общем случае входящий поток требований описывается распределением вероятностей интервалов времени между соседними требованиями. Часто предполагают, что эти интервалы времени независимые и имеют одинаковое распределение случайных величин, которые образуют стационарный входящий поток требований. Классическая теория массового обслуживания рассматривает так называемый пуассоновский (простейший) поток требований. Для этого потока число требований k для любого интервала времени распределено по закону Пуассона:
где λ - интенсивность потока требований (число требований за единицу времени). На практике обоснованием того, что входящий поток требований имеет распределение Пуассона, является то, что требования поступают от большого числа независимых источников за определенный интервал времени. Примерами могут быть вызовы абонентов в телефонной сети, запросы к распределенной базе данных от абонентов сети за некоторое время и другие. Для того, чтобы при моделировании задать пуассоновский поток требований в систему, достаточно задать экспоненциальное распределение интервалов времени поступление для соседних требований, графики функций плотности и распределения которых для λ = 1 показаны на рис. 1.1.