2.2.2. Локальная форма закона сохранения энергии

Применительно к единичному объему его можно сформулировать следующим образом:

Переносимой субстанцией является энергия единичного объема :

. (2.43)

На практике при рассмотрении процесса переноса тепла в изобарных условиях можно пренебречь работой по преодолению сил трения и изменением механической энергии, тогда можно записать локальный аналог уравнения (2.40):

. (2.44)

В этом случае можно рассматривать как поток тепла, заменив в уравнении (2.42) на . Используя соотношение, связывающее энтальпию с изобарной теплоемкостью и температурой , а также и выражение для потока тепла, можно записать уравнение нестационарной конвективной теплопроводности:

. (2.45)

В частном случае ламинарного движения и постоянства теплофизических характеристик с_р, , = const, _т = 0 уравнение (2.45) преобразуется в уравнение Фурье-Кирхгофа:

, (2.46)

где - коэффициент молекулярной температуропровод-ности, м²/с.

При теплопереносе в неподвижной среде получим уравнение нестационарной теплопроводности Фурье:

. (2.47)

При стационарном переносе тепла предыдущее уравнение еще более упрощается:

. (2.48)

2.3. Закон сохранения импульса

Суть закона сохранения импульса состоит в том, что суммарный импульс изолированной системы есть величина постоянная , . Если же система находится под воздействием внешних сил, то производная от импульса системы по времени равна результирующей силе, действующей на систему.

2.3.1. Интегральная форма закона сохранения импульса

Изменение импульса в фиксированном объеме V вызывается разностью прихода и отвода импульса из выделенного объема, а также источником импульса. Импульс является векторной величиной.

, (2.49)

, (2.50)

где - импульс среды в выделенном объеме; , - приход и отвод импульса из объема за время t; - количество импульса, образующегося в единице объема за единицу времени (источник импульса).

В соответствии со вторым законом Ньютона источником импульса являются силы, действующие на систему:

. (2.51)

Для непрерывных процессов уравнение (2.49) можно представить в следующем виде:

. (2.52)

В качестве сил, действующих на движущуюся среду, могут рассматриваться силы давления и тяжести. В частном случае, когда суммарным действием всех сил можно пренебречь , и процесс протекает в стационарных условиях , тогда

. (2.53)

2.3.2. Локальная форма закона сохранения импульса

Импульса единичного объема :

, (2.54)

где - ускорение, приобретаемое системой за счет действия массовых сил. .

Общий вид уравнения движения с использованием субстанциональной производной:

. (2.55)

Уравнение Навье-Стокса для ламинарного движения:

, (2.56)

где . (2.57)

Можно поделить на плотность каждый из членов уравнения (2.56), тогда

. (2.58)

Рассмотрим частные случаи уравнения Навье-Стокса. Для идеальной среды движущейся без трения ( =0), оно переходит в уравнение движения Эйлера:

, (2.59)

а для покоящейся среды - в уравнение равновесия Эйлера

. (2.60)