3.2. Алгебры

Определение 3.35. Алгеброй A называется упорядоченная пара первый элемент которой есть непустое множество А элементов любой природы, а второй – множество операций, заданных на множестве А.

Пример. Проверить, что множество чисел вида является алгеброй относительно операций сложения и умножения чисел. Для этого покажем, что данное множество замкнуто относительно указанных операций, т. е. результаты сложения и умножения элементов множества также являются элементами этого множества. Пусть − произвольные элементы множества тогда справедливы равенства

1. ;

2. 

Очевидно, что данное множество замкнуто относительно указанных операций. Следовательно, алгебра.

В этом примере основное множество алгебры является бесконечным. В случае, когда основное множество является конечным, для проверки замкнутости множества относительно той или иной алгебраической операции составляют так называемую таблицу Кэли, левый столбец и верхняя строка которой заполняются элементами основного множества. Заполнение ячеек таблицы осуществляется с учётом заданной операции. В том случае, когда таблица Кэли заполнена исключительно элементами основного множества, множество замкнуто относительно этой операции, т. е. является алгеброй. Принцип использования таблиц Кэли рассмотрим на следующем примере.

Пример. Выяснить, является ли алгеброй множество чисел относительно бинарной операции нахождения наименьшего общего кратного.

Составим таблицу Кэли и заполним её в соответствии с заданной алгебраической операцией (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

НОК	1	2	3	4	6	12
1	1	2	3	4	6	12
2	2	2	6	4	6	12
3	3	6	3	12	6	12
4	4	4	12	4	12	12
6	6	6	6	12	6	12
12	12	12	12	12	12	12

Поскольку все числа, которыми заполнены ячейки таблицы, принадлежат множеству А, можно сделать вывод об алгебраической замкнутости этого множества относительно операции вычисления наименьшего общего кратного.

Замечание. По структуре таблицы Кэли можно также делать выводы о свойствах, которыми обладает бинарная операция. Так, если в таблице Кэли какая-либо строка полностью повторяет верхнюю строку, а какой-либо столбец – левый столбец, основное множество содержит нейтральный элемент относительно рассматриваемой бинарной операции; этот элемент находится на пересечении этих строки и столбца. Если таблица Кэли симметрична относительно главной диагонали, бинарная операция является коммутативной на основном множестве алгебры. Если каждый столбец и каждая строка таблицы Кэли содержат нейтральный элемент, каждый элемент имеет симметричный относительно рассматриваемой бинарной операции.

Для рассмотренного примера в соответствии с приведённым замечанием можно сделать вывод о том, что на множестве А бинарная операция вычисления наименьшего общего кратного коммутативна, и нейтральным элементом относительно этой операции является единица.

Определение 3.36. Типом алгебры A = называется последовательность рангов всех операций, заданных на множестве А.

Примеры.

1. Рассмотрим алгебру Z = , основным множеством которой является множество целых чисел, с двумя бинарными операциями сложения и умножения. Тип этой алгебры (2, 2).

2. Рассмотрим алгебру R = , основным множеством которой является множество R действительных чисел, с бинарной операцией сложения, унарной операцией нахождения противоположного элемента, и нульместной операцией фиксирования нуля. Тип такой алгебры (2, 1, 0).

3. Рассмотрим алгебру P(A) = , основным множеством которой является множество всех подмножеств некоторого множества А, с бинарными операциями пересечении и объединения множеств, унарной операцией нахождения разности множеств, нульместной операцией фиксирования пустого множества. Эта алгебра типа (2, 2, 1, 0).

Определение 3.37. Алгебры A = и В = называются однотипными, если существует инъективное отображение множества на множество при котором каждой операции соответствует операция того же ранга.

Пример. Рассмотрим алгебру Z = , основным множеством которой является множество целых чисел, с двумя бинарными операциями сложения и умножения, а также алгебру M = основным множеством которой является множество квадратных матриц порядка n, с двумя бинарными операциями сложения и умножения матриц. Эти две алгебры однотипны, поскольку бинарной операции сложения целых чисел соответствует бинарная операция сложения матриц, и бинарной операции умножения целых чисел соответствует бинарная операция умножения матриц.

Определение 3.38. Говорят, что отображение основного множества алгебры A = в основное множество однотипной алгебры В = сохраняет операцию алгебры A, если выполняется равенство

где и операции в алгебре A соответствует операция в алгебре В.

Определение 3.39. Гомоморфизмом алгебры A = в однотипную алгебру В = называется такое отображение , которое сохраняет все операции алгебры A.

Если при этом отображение инъективно, то называется мономорфизмом. Если же отображение сюръективно (т. е. является взаимнооднозначным отображением А на В), то называется эпиморфизмом. Если отображение является биективным (т. е. инъективным и сюрьективным одновременно), то называется изоморфизмом.

Определение 3.40. Алгебры A = и В = , между которыми установлен изоморфизм, называются изоморфными. Факт изоморфизма алгебр обозначают записью вида A В.

Примеры.

1. Рассмотрим две алгебры. Первая – R⁺ = Основным множеством этой алгебры является множество положительных действительных чисел. Выделены две операции: бинарная операция сложения чисел из R⁺ и нульместная операция фиксирования единицы. Вторая алгебра R = Основным множеством во второй алгебре является множество действительных чисел; выделены также две операции: бинарная операция умножения чисел из и нульместная операция фиксирования нуля. Как видно, эти алгебры однотипны.

Покажем, что рассмотренные алгебры изоморфны. Для этого реализуем следующие действия: 1) зададим отображение 2) покажем, что отображение гомоморфизм; 3) установим биективность гомоморфизма

1. отображение зададим следующим образом: каждому поставим в соответствие логарифм , т. е. где

2. покажем, что отображение сохраняет операции алгебры R⁺. Для этого воспользуемся свойствами логарифма. Очевидно:

Следовательно, отображение сохраняет бинарную операцию умножения чисел множества R⁺ и нульместную операцию фиксирования единицы.

3. покажем, что отображение является инъективным. Для этого воспользуемся определением 3.25:

Покажем, что отображение сюрьективно, т. е. отображает множество R⁺ на множество R. Это действительно так: по определению логарифма положительного числа , логарифм принимает значения из R. Следовательно, отображение является биективным, а поэтому рассматриваемые алгебры изоморфны: R⁺ R.

2. Рассмотрим множества целых чисел, кратных двум и трём соответственно: Относительно операции сложения чисел данные множества образуют алгебры M₂ = , M₃ = . Эти алгебры изоморфны. Отображение может быть задано следующим образом:

3. Алгебра Z = с основным множеством целых чисел и операцией умножения эпиморфна алгебре Z_±1 = , основное множество которой состоит из двух чисел: −1 и 1, а алгебраической операцией является умножение. Отображение задаётся так:

т. е. чётному числу ставится в соответствие 1, а нечётному – −1 .