2.2. Соединения

Если из некоторого количества различных меду собой элементов составлять различные комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название – соединения. Рассмотрим эти типы.

Определение 2.1. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.

Общее число перестановок из m элементов обозначается P_m и вычисляется по формуле:

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Для того чтобы число, составленное из заданных цифр, делилось нацело на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных 5, равно числу перестановок из 5 элементов, т. е.

Определение 2.2. Если составлять из т различных элементов группы по n элементов в каждой, располагая взятые элементы в различном порядке, то получившиеся при этом комбинации называются размещениями из т элементов по n.

Общее число таких размещений рассчитывается по формуле:

Замечание. Перестановки являются частным случаем размещений при

Пример. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

Различных способов составления расписания, очевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества. Следовательно, число способов равно числу размещений из 14 элементов по 5 элементов, т. е. равно

Пример. Найти если

Применяя формулу для числа перестановок и формулу для числа размещений, перепишем данное уравнение следующим образом:

Полученное уравнение равносильно квадратному уравнению

корнями которого являются числа и При данное уравнение лишено смысла. Корень уравнению удовлетворяет.

Определение 2.3. Если из т элементов составлять группы по n элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по n.

Общее число сочетаний находится по формуле:

Пример. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, причём каждые две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

В первом круге состоится столько матчей, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, содержащего 18 элементов, т. е. их число равно

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому, согласно правилу суммы, в течение сезона состоится 153 + 153 = 306 встреч.

Пример. Решить неравенство

Левая часть данного неравенства имеет смысл тогда и только тогда, когда целое число, принадлежащее отрезку Правая часть неравенства имеет смысл в том и только в том случае, когда целое число, принадлежащее отрезку Следовательно, решениями неравенства могут быть только целые числа из отрезка Используя формулу числа сочетаний, запишем данное неравенство следующим образом:

Разделив обе части неравенства на получим

откуда т. е. Учитывая область допустимых значений данного неравенства, получим множество его решений:

Одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.

Если среди т элементов имеется т₁ одинаковых элементов одного типа, т₂ одинаковых элементов другого типа и т. д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:

Пример. Номер автомобиля состоит из трёх букв и трёх цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв?

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900. Если к номеру добавляется ещё одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т. е. достигает 27.000 комбинаций. Окончательно, так как каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.