1.7. Исследование систем линейных уравнений

Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.

Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема

Теорема 1.12 (Кронекера–Капелли).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:

Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем.

Теорема 1.13. Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой

Теорема 1.14. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.

Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных, Тогда:

1. при система несовместна;

2. при система совместна, причём, если , система определённая; если же , система неопределённая.

Определение 1.34. Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

и в случае неопределённости системы найти её базисное решение.

Вычислим ранги основной и расширенной матриц данной системы уравнений, для чего приведём расширенную (а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду:

Вторую строку матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на третью строку – с первой строкой, умноженной на а четвёртую строку – с первой, умноженной на получим матрицу

К третьей строке этой матрицы прибавим вторую строку, умноженную на а к четвёртой строке – первую, умноженную на В результате получим матрицу

удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу

Таким образом, Следовательно, данная система линейных уравнений совместна, а поскольку величина ранга меньше числа неизвестных, система является неопределённой. Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице соответствует система уравнений

Неизвестные и являются главными, а неизвестные и свободными. Придавая свободным неизвестным нулевые значения, получим базисное решение данной системы линейных уравнений:

2. Элементы комбинаторики

2.1. Общие правила комбинаторики

Правило суммы. Пусть объект можно выбрать способами, объект способами, не совпадающими со способами выбора объекта Тогда выбор «либо либо » можно осуществить способами. Если среди способов выбора объектов и есть общих, то указанный выбор можно осуществить способами.

Пример. Имеется 10 билетов денежно-вещевой лотереи и 15 билетов художественной лотереи. Сколькими способами можно выбрать один лотерейный билет?

Билет денежно-вещевой лотереи можно выбрать 10 способами (все билеты различны), билет художественной лотереи – 15 способами. По правилу суммы, выбор одного лотерейного билета можно осуществить 10 + 15 = 25 способами.

Пример. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать кость, на которой есть 1 или 2?

Выбрать кость, содержащую 1, можно 7 способами, а кость, содержащую 2, – тоже 7 способами. Но среди указанных способов выбора есть один общий – это выбор кости 1:2. Следовательно, общее число способов выбора нужной кости равно 7 + 7 – 1 = 13.

Правило произведения. Пусть объект можно выбрать способами, объект способами. Тогда выбор « и » можно осуществить способами.

Пример. Из города в город идёт 5 дорог, из города в город 4 дороги. Сколько путей, проходящих через город ведут из города в город ?

Весь путь из в состоит из двух частей: из в и из в . Из города в город можно попасть 5 способами, из города в город 4 способами. Общее число путей из города в город согласно правилу произведения, равно