1.4. Обратная матрица. Способы обращения матрицы

Определение 1.21. Квадратная матрица называется невырожденной (вырожденной), если её определитель отличен от нуля (равен нулю).

Определение 1.22. Если существуют квадратные матрицы и удовлетворяющие условию

где единичная матрица того же порядка, то матрица называется обратной к матрице и обозначается символом

Теорема 1.5. Каждая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу и притом единственную.

Определение 1.23. Матрица полученная из матрицы заменой её элементов их алгебраическими дополнениями с последующим транспонированием, называется матрицей, присоединённой к матрице

Теорема 1.6. Если матрица невырожденная, то её обратная матрица имеет вид:

Пример. Дана матрица

Составить обратную матрицу.

Для решения задачи воспользуемся теоремой 1.6 и запишем: существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы

Таким образом,

Следующий способ обращения матриц основан на применении элементарных преобразований матрицы и состоит в реализации алгоритма.

1. К матрице справа приписывается единичная матрица того же порядка, что и матрица Тем самым получается матрица

2. С помощью элементарных преобразований (определение 1.12), осуществляемых над матрицей на месте матрицы должна быть получена единичная матрица.

3. Матрица, полученная таким образом на месте единичной матрицы, и будет обратной для матрицы

Пример. С помощью элементарных преобразований найти матрицу, обратную данной:

Припишем к матрице справа единичную матрицу того же порядка, что и данная матрица. Получим следующую матрицу:

Над полученной матрицей будем производить строчечные элементарные преобразования так, чтобы на месте данной матрицы получилась единичная, тогда на месте единичной матрицы получится матрица Производимые элементарные преобразования будем сопровождать пояснениями. Сложим третью строку полученной матрицы с её первой строкой, умноженной на затем к первой строке прибавим вторую строку, умноженную на получим матрицу

Помножив первую строку этой матрицы на сложим её с третьей строкой, умноженной на а результат сложения запишем в первую строку:

Вторую строку полученной матрицы, умноженную на сложим с третьей строкой, умноженной на результат сложения поместим в третью строку:

Умножая последнюю матрицу на получим:

Следовательно,

Теорема 1.7. Обращение матриц обладает следующими основными свойствами:

1. 

2. 

3. 

1.5. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы

Определение 1.24. Минором порядка матрицы называется определитель квадратной матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких-либо выбранных строк и столбцов матрицы

Определение 1.25. В матрице порядка минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе.

Определение 1.26. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается символом

Замечание. Из приведённых определений следует, что ранг матрицы равен наибольшему из порядков её миноров, отличных от нуля.

Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод окаймления миноров. Рассмотрим применение этого способа на следующем примере.

Пример. Определить ранг матрицы

Среди миноров второго порядка матрицы существует по крайнеё мере один, отличный от нуля. Например, минор матрицы полученный вычёркиванием из этой матрицы третьей строки, третьего, четвёртого и пятого столбцов, отличен от нуля:

следовательно, ранг данной матрицы не меньше двух.

Найдём миноры третьего порядка матрицы Все десять миноров третьего порядка равны нулю, поэтому ранг данной матрицы не может быть равен трём. Таким образом,

Следующий способ вычисления ранга матрицы основан на применении элементарных преобразований матрицы и использовании следующих утверждений.

Теорема 1.8. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Теорема 1.9. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.

Пример. Вычислим ранг матрицы из предыдущего примера. Для этого матрицу с помощью элементарных преобразований приведём к ступенчатому виду. Найдём сумму второй строки матрицы с первой строкой, умноженной на а также сумму третьей строки матрицы с первой строкой, умноженной на В результате указанных элементарных преобразований получим эквивалентную матрицу

Третью строку полученной матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на и получим эквивалентную матрицу

Удалим из этой матрицы третью строку и получим ступенчатую эквивалентную матрицу, количество ненулевых строк которой равно двум:

В соответствии с теоремой 1.8, ранг полученной матрицы равен двум, а значит (теорема 1.9),