5.6. Арифметические приложения теории сравнений
С помощью теории сравнений можно решать различные математические задачи. Рассмотрим основные арифметические приложения теории сравнений – нахождение длины периода десятичной дроби и признаки делимости.
Теорема
5.20.
Пусть
обыкновенная
правильная дробь, где
некоторое целое число,
натуральное число, взаимнопростое с
числом
и с числом 10. Разложение дроби
в бесконечную десятичную дробь будет
содержать
цифр в периоде.
Замечание.
Требование взаимной простоты числа
с числом 10, очевидно, означает, что число
не
делится ни на 2, ни на 5.
Пример.
Найдём число цифр в периоде при разложении
обыкновенной дроби
в бесконечную десятичную дробь.
Очевидно,
что числа 7 и 13 – взаимнопростые, поэтому,
в соответствии с теоремой 5.20, для решения
задачи необходимо вычислить показатель
Делителями функции Эйлера
являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Непосредственной
проверкой убеждаемся в справедливости
сравнения
Следовательно,
разложение дроби
в бесконечную лесятичную дробь содержит
цифр.
Теорема
5.21 (общий признак делимости).
Пусть дана систематическая запись числа
в
й
системе счисления (
натуральное число):
где
натуральное
число, а числа
таковы, что
Тогда справедливо сравнение
Замечание. Из теоремы 5.21 и определения 5.1 следует справедливость утверждения:
Для
применения общего признака делимости
в системе счисления с основанием
нужно знать остатки от деления на
заданное
степеней числа
т. е. числа
Умножая эти числа на соответствующие
цифры числа
а затем суммируя полученные произведения,
можно узнать, делится ли число
на число
или не делится. Указанным способом
получают частные признаки делимости.
Пример. Выведем признак делимости на 3 в десятичной системе счисления. Систематическая запись числа в десятичной системе счисления имеет вид:
По теореме 5.21, имеет место сравнение
Найдём числа Имеем сравнения:
Таким образом, остатки степеней числа 10 при делении на 3 равны 1, тогда получим сравнение:
т.
е. число
в десятичной системе счисления делится
на 3 тогда и только тогда, когда сумма
цифр этого числа делится на 3.
Заключение
Настоящее учебное пособие включает в себя достаточный теоретический материал, а также примеры и задачи по курсу высшей алгебры, программа которого предусмотрена подготовкой дипломированных специалистов ДВГУПС, обучающихся по специальности «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем».
При изучении этого материала следует уделять большое внимание его абстрактной направленности. Рассмотренные примеры и задачи призваны помочь студентам в овладении сложными вопросами упомянутого курса, а также организовать самостоятельную работу при выполнении домашних и расчётно-графических заданий, при подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Автор надеется, что пособие будет способствовать выработке у студентов ДВГУПС прочных знаний, умений и навыков при решении сложных задач курса высшей алгебры.