5.4. Сравнения с неизвестной. Исследование и формулы

для решений сравнений первой степени

Определение 5.11. Сравнение вида

(5.1)

где а числа и взаимнопросты, называется алгебраическим сравнением (сравнением с неизвестной ) степени

Для решения сравнений вида (5.1) необходимо найти такие значения которые будут обращать это сравнение в верное числовое сравнение, т. е. соответствующие значения будут сравнимы с нулём по модулю а значит, Оказывается, что сравнение (5.1) либо вообще не имеет смысла, либо существует бесконечно много чисел, удовлетворяющих этому сравнению, причём все эти значения образуют некоторое количество классов вычетов по модулю

Теорема 5.14. Если некоторое целое число удовлетворяет сравнению (5.1), то класс вычетов

состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.

Замечание. Из теоремы 5.14 следует, что, если хотя бы один вычет класса вычетов по данному модулю удовлетворяет сравнению, то этому сравнению удовлетворяет каждое число этого класса, в связи с чем естественно под решением сравнения понимать не отдельное число, а класс вычетов по данному модулю.

Определение 5.12. Решением сравнения (5.1) называется класс вычетов по модулю состоящий из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.

Замечание. Число классов вычетов по модулю конечно, поэтому, если дано сравнение с неизвестной вида (5.1), мы, перебрав все классы вычетов, а именно полную систему вычетов, можем найти решение данного сравнения.

Пример. Найдём решение сравнения

Для этого найдём полную систему вычетов по модулю 11, где в качестве представителей классов вычетов возьмём наименьшие неотрицательные вычеты: Непосредственно проверкой убеждаемся, что только число 5 удовлетворяет заданному сравнению, следовательно, решением данного сравнения будет класс вычетов по модулю 11, которому принадлежит вычет 5, т. е. класс вычетов

Исследуем сравнения первой степени вида

Перепишем это сравнение в виде:

(5.2)

Сравнения первой степени называются также линейными сравнениями.

Теорема 5.15. Относительно решений сравнения (5.2) имеют место следующие утверждения.

1. Если и то сравнение (5.2) решений не имеет.

2. Если то сравнение (5.2) имеет единственное решение – класс вычетов такой, что

3. Если и то сравнение (5.2) имеет ровно решений таких, что

…………………………

где решение сравнения

Пример. Решить сравнение

Поскольку числа 4 и 3 взаимнопросты, то, в соответствии с утверждением 2 теоремы 5.15, данное сравнение имеет единственное решение. Поскольку число мало, воспользуемся методом перебора и выберем корень сравнения среди классов вычетов по модулю 7:

Решением сравнения является класс вычетов

5.5. Первообразные корни и индексы

Определение 5.13. Показателем (порядком) целого числа по данному модулю называется наименьшее целое положительное число, которое обозначается символом и удовлетворяет следующему линейному сравнению

Пример. Найдём показатель числа 3 по модулю 11, т. е. Для этого будем последовательно составлять сравнения вида где Наименьшее значение при котором получим и будет являться искомой характеристикой.

Следовательно,

Перечислим свойства числовой функции Везде далее будем считать, что числа и взаимнопросты.

Теорема 5.16. Справедливы следующие утверждения.

1. Если то

2. Если то

3. Если функция Эйлера, то

Замечание. Согласно утверждению 1 теоремы 5.16, показатель всех чисел из одного и того же класса вычетов одинаков, поэтому функцию можно рассматривать как функцию, заданную на множестве классов вычетов по модулю взаимнопростых с модулем

Теорема 5.17. Сравнение где имеет место тогда и только тогда, когда

Теорему 5.17 можно использовать для нахождения остатков от деления натуральных степеней целых чисел.

Определение 5.14. Класс вычетов называется первообразным корнем по модулю если показатель класса вычетов равен функции Эйлера т. е.

Вместе с классом вычетов будем называть первообразными корнями и все вычеты данного класса.

Возникает закономерный вопрос о том, как убедиться в том, что класс вычетов является первообразным корнем по модулю В соответствии утверждением 3 теоремы 5.16, показателями класса вычетов могут быть только делители функции Эйлера Следовательно, нужно найти все делителей функции Эйлера, которые не совпадают с и убедиться в том, что Тогда т. е. первообразный корень.

Для нахождения первообразных корней существует следующий алгоритм:

1. вычислить функцию Эйлера

2. найти все делители числа

3. если какие-либо удовлетворяют сравнению

то

Пример. Найдём первообразные корни Воспользуемся сформулированным алгоритмом:

1)

2) делителями будут числа: 1, 2, 4;

3)  следовательно,

Замечание. Если простое число, то а поэтому, если класс является первообразным корнем, то Предыдущий пример подтверждает это правило.

Определение 5.15. Пусть числа и а также числа и взаимнопросты. Число называется индексом числа по модулю и основанию если имеет место сравнение

При этом используют обозначение:

Теорема 5.18. Все вычеты одного и того же класса вычетов по данному модулю имеют одинаковый индекс.

В соответствии с теоремой 5.18 можно сформулировать определение, эквивалентное определению 5.15.

Определение 5.16. Пусть числа и а также числа и взаимнопросты. Число называется индексом класса по основанию и по модулю если имеет место сравнение

Пример. Рассмотрим и возьмём

Поскольку то

Аналогично, следовательно,

Пример. Рассмотрим и возьмём Оказывается, что не существует индекса поскольку не существует такого числа при котором бы выполнялось сравнение

Предыдущие примеры показывают, что если в качестве основания взять число, не являющееся первообразным корнем по модулю то индексы будут существовать не для всех чисел, взаимнопростых с числом В этом отношении важной является следующая теорема.

Теорема 5.19. Пусть первообразный корень по модулю Для каждого числа взаимнопростого с числом существуют индексы по основанию

Пример. Зная, что класс вычетов является первообразным корнем по модулю найти индексы по модулю и основанию