5.2. Классы вычетов по заданному модулю

Определение 5.2. Класс эквивалентности отношения сравнения по данному модулю называется классом вычетов по модулю

Определение 5.3. Вычетом класса вычетов по модулю называется любое из чисел, принадлежащих этому классу вычетов.

Теорема 5.6 (о структуре класса вычетов). Класс вычетов совпадает с множеством чисел вида где любое натуральное число:

Теорема 5.7. Любые два класса вычетов по модулю либо совпадают, либо не пересекаются.

Замечание. Введение классов вычетов по модулю позволяет, во-первых, заменять сравнение целых чисел равенством соответствующих классов вычетов, и наоборот, равенство классов вычетов по данному модулю – сравнением вычетов; во-вторых, показывает равноправность всех вычетов класса вычетов.

Теорема 5.8. Если какой-либо вычет класса вычетов по данному модулю имеет при делении на остаток то все числа, входящие в этот класс вычетов, имеют вид где любое целое число.

Замечание. Теорема 5.8 очень важна с той точки зрения, что она позволяет сформулировать признак, по которому целые числа объединяются в один класс вычетов: числа, которые при делении на дают одинаковый остаток, принадлежат одному и тому же классу вычетов.

Теорема 5.9. Число классов вычетов по модулю конечно и равно

Из теорем 5.8 и 5.9 следует, что классов вычетов по модулю будет ровно столько, сколько остатков при делении на а остатки могут быть: 0, 1, 2, …,

Пример. Классами вычетов по модулю 6 будут следующие счётные множества:

Обозначим множество классов вычетов по модулю символом

Введём на множестве операции сложения и умножения классов вычетов.

Определение 5.4. Суммой двух классов вычетов и называется класс вычетов, порождённый элементом т. е.

Определение 5.5. Произведением двух классов вычетов и называется класс вычетов, порождённый элементом т. е.

Теорема 5.10. Справедливы следующие утверждения.

1. Алгебра является абелевой группой.

2. Алгебра является коммутативным кольцом.

5.3. Полная и приведённая системы вычетов. Функция Эйлера

Определение 5.6. Полной системой вычетов по данному модулю называется множество чисел, взятых по одному и только по одному из каждого класса вычетов по данному модулю

Пример. Полной системой вычетов по модулю 6 является следующее множество чисел:

Определение 5.7. Класс вычетов называется взаимнопростым с модулем если числа и взаимнопросты.

Определение 5.8. Приведённой системой вычетов по данному модулю называется множество чисел, взятых по одному и только по одному из каждого класса вычетов по данному модулю взаимнопростого с модулем

Пример. Составим приведённую систему вычетов по модулю 12.

Классами вычетов по модулю 12 являются следующие классы вычетов:

Взаимнопростыми с модулем 12 являются следующие классы вычетов:

Выберем в каждом из этих классов вычетов по одному представителю:

Тогда в качестве приведённой системы вычетов по модулю 12 можно взять множество чисел

Определение 5.9. Функцией Эйлера называется число классов вычетов по модулю , взаимнопростых с модулем

Определение 5.10. Функция определённая на множестве натуральных чисел называется мультипликативной, если для любых взаимнопростых натуральных чисел справедливо равенство

Пример. Вычислим значение функции Эйлера

Для этого найдём каноническое разложение числа 1001 на простые множители:

т. е.

Поскольку числа 7, 11, 13 – попарно взаимнопросты, а функция Эйлера мультипликативна, будет справедливо равенство

Для вычисления каждого сомножителя в правой части последнего равенства воспользуемся определением функции Эйлера и запишем

Теорема 5.11. Если натуральное число имеет каноническое разложение на простые множители вида, то для вычисления функцииЭйлера верна формула

Замечание. Из теоремы 5.11 следует способ вычисления функции Эйлера , который состоит в разложении числа на простые множители и использовании формулы, записанной в утверждении теоремы 5.11.

Теорема 5.12 (Эйлера). Для любого модуля и любого натурального числа взаимнопростого с числом имеет место формула Эйлера:

Теорема 5.13 (Ферма). Имеют место следующие эквивалентные утверждения.

1. Если натуральное число не делится на простое число то справедливо сравнение

2. Для любого простого модуля и любого натурального числа имеет место сравнение

Замечание. Теоремы Эйлера и Ферма часто используются при нахождении остатков от деления больших степеней натуральных чисел на некоторое натуральное число причём числа и взаимнопросты. Сформулируем алгоритм решения подобных задач.

1. Вычислить функцию Эйлера

2. Разделить показатель степени на с остатком:

где

3. Воспользоваться свойствами степеней с натуральным показателем и записать выражение

.

4. Воспользовавшись теоремой Эйлера ( ), записать сравнение

5. Используя определение и свойства сравнений, найти остаток от деления степени на число т. е. получить сравнение

где

Тогда число искомый остаток от деления.

Пример. Найти остаток от деления числа на 13.

Заметим, что числа 174 и 13 взаимнопросты. Решение задачи осуществим по сформулированному выше алгоритму.

1. Вычислим значение функции Эйлера от делителя:

2. Разделим показатель степени 249 на с остатком:

3. По свойствам степеней с натуральным показателем, имеем цепочку равенств:

4. По теореме Эйлера, имеет место сравнение

тогда, по свойствам сравнений,

откуда

Поскольку имеет место сравнение получим:

Заметим, что тогда, учитывая равенство по свойствам сравнений получим:

Далее найдём остаток от деления на 13. Для этого поделим число на 13 с остатком: остаток равен 5. Следовательно, остаток от деления числа на 13 равен 5.