4.3. Метод математической индукции
Математическая индукция – это метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе математической индукции, который справедлив для утверждений, зависящих от некоторого натурального параметра. Например, следующие утверждения зависят от натурального параметра:
Число диагоналей выпуклого n-угольника равно
Это утверждение зависит от натурального
параметра
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на девять.
Теорема
4.7 (принцип математической индукции).
Пусть
любое утверждение, заданное на множестве
натуральных чисел и удовлетворяющее
условиям
утверждение
истинно;если утверждение
истинно, то и утверждение
истинно при каждом натуральном
Тогда утверждение истинно для всех натуральных чисел.
Из формулировки принципа математической индукции следует способ доказательства математических утверждений, зависящих от натурального параметра.
Проверить, что при
утверждение верно, т. е.
верное математическое утверждение.Предположить, что для
утверждение
верное математическое утверждение.Доказать, что для
утверждение
верное математическое утверждение.Сделать вывод о том, что утверждение верно для любого натурального числа
Пример.
Докажем, что для любого натурального
числа
выражение
делится на 6. Для доказательства
воспользуемся описанным выше способом
доказательства математических
утверждений, зависящих от натурального
числа.
Пусть тогда выражение примет значение
т. е. при
утверждение верно.Предположим, что при утверждение верно, т. е.
Проверим истинность утверждения для , т. е. справедливость отношения
Первое
слагаемое суммы в правой части последнего
равенства делится на 6 в силу предположения
о справедливости утверждения при
;
второе слагаемое, очевидно, делится на
6. Рассмотрим третье слагаемое
Очевидно, что оно делится на 3. Числа
и
– последовательные натуральные числа,
поэтому одно из них чётное, а значит,
произведение
делится на 2:
Следовательно,
и третье слагаемое указанной суммы
делится на 6, а значит, и вся сумма
делится на 6.
4. Таким образом, на основании принципа математической индукции,
для
любого натурального
.
5. Теория сравнений
5.1. Определение и свойства сравнений
Рассмотрим
множество целых чисел
и зафиксируем натуральное число
Определение
5.1.
Целые числа
и
называются сравнимыми по данному модулю
если
В этом случае говорят также, что числа и находятся в отношении сравнения и записывают
Такая запись называется сравнением.
Замечания.
Число стоящее под знаком модуля, везде далее будет считаться натуральным, т. е. целым положительным, поскольку сравнения по модулю
будет совпадать со сравнением по модулю
Если числа и не сравнимы по модулю то этот факт обозначается записью вида
Примеры.
1)
поскольку
2)
поскольку
3)
поскольку
Рассмотрим основные свойства сравнений.
Теорема 5.1. Целые числа и сравнимы по данному модулю тогда и только тогда, когда и дают одинаковые остатки при делении на
Теорема 5.2. Отношение сравнения по модулю является отношением эквивалентности.
Теорема 5.3. Для сравнений имеют место следующие утверждения:
если
и
то
;
если и числа
взаимнопросты, то
если и
то
если
и
то
если и
то
если и то
если и
то
Теорема 5.4. Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести в другую часть с противоположным знаком, т. е., если, например,
то
Теорема
5.5.
В сравнениях по модулю
можно отбрасывать или добавлять
слагаемые, делящиеся на число
т. е., если, например,
и
то
или
