4.1. Делимость и деление с остатком в кольце целых чисел
Определение
4.1.
Пусть
и
целые
числа,
Говорят, что число
делит число
,
если существует такое целое число
что справедливо равенство
В этом случае число
называется делителем числа
,
а число
частным от деления. При этом используют
следующие обозначения:
(
делит
)
или
(
делится на
).
Замечание. Определение 4.1 задаёт в кольце целых чисел отношение делимости.
Теорема
4.1.
Пусть
целые
числа. Справедливы следующие утверждения:
1) отношение
делимости в кольце целых чисел рефлексивно,
т. е.
2) отношение
делимости в кольце целых чисел транзитивно,
т. е. если
и
то
3)
если
и
то
4)
5)
6)
если
,
то
7)
если
и
то
8)
если
,
то
9)
если
и
то
10)
если
и
то
11)
если
и
то
12)
тогда и только тогда, когда
Определение 4.2. Пусть и целые числа, Говорят, что число делится с остатком на число , если число может быть представлено в виде
где
При
этом число
называется неполным частным, а число
остатком от деления.
Теорема
4.2 (теорема о делении с остатком).
Для любых целых чисел
и
существует единственная пара целых
чисел
таких, что
где
Теорема
4.3.
Для любых целых чисел
и
где
при некотором целом положительном
существует единственное представление
числа
в виде
где
Замечание.
Если в теореме 4.3 принять
то получим запись числа по разрядам в
десятичной системе счисления:
В
этом случае число
можно записать в виде
С помощью отношений делимости и деления с остатком в кольце целых чисел возможно решение широкого класса задач теории чисел.
Пример.
Докажем, что для любого целого
выражение
делится на 3.
Если
то
и доказываемое утверждение очевидно.
Если
то, в соответствии с теоремой о делении
с остатком, имеет место представление
где
а
число
может принимать одно из значений: 1 или
2. Получим выражение
через
и
Очевидно,
что первые четыре слагаемых левой части
полученного выражения делятся на 3. При
выражение
принимает значение, равное 0, а при
– значение, равное 6, т. е. при любом
возможном значении
выражение
делится на 3. Следовательно, на 3 делится
вся сумма
Пример.
Найдём все числа, принадлежащие интервалу
которые при делении на 1965 дают остаток,
равный 125.
Искомые
числа обозначим через
тогда, по теореме о делении с остатком,
существует такое целое число
что выполняется равенство:
Найдём
возможные значения
пользуясь неравенствами
,
а
так как
то
может принимать одно из значений: 13, 14,
15.
Тогда искомые числа будут:
4.2. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики
Далее
будем считать, что множество натуральных
чисел
не содержит число ноль.
Определение
4.4.
Натуральное число
называется простым, если оно имеет
только два делителя:
1
и
Определение
4.5.
Натуральное число
называется составным, если оно имеет,
по крайней мере, один делитель, отличный
от 1 и
Замечания.
Согласно утверждению 12) теоремы 4.1, определение простых и составных чисел можно сформулировать для любого целого числа, отличного от нуля и
.Согласно определению 4.5, если составное число, то существует такое натуральное число
что
число
представимо в виде
где
Согласно введённым определениям, множество натуральных чисел можно разбить на три класса:
простые числа;
составные числа;
единица.
Согласно определению 4.4, существует единственное простое чётное число 2.
Теорема 4.4. Наименьший отличный от единицы делитель любого натурального числа, не равного единице, – простое число.
Теорема 4.5. Если произведение двух целых чисел делится на простое число, то, по меньшей мере, один из сомножителей делится на это простое число.
Теорема 4.6 (основная теорема арифметики). Любое натуральное число, отличное от единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.
Следствие
4.1.
Любое целое число
,
отличное от нуля и
можно представить в следующем виде:
где
простые числа,
Замечание. В разложении целого числа на простые сомножители могут встречаться одинаковые простые множители. В подобных случаях представление можно записать в виде:
где
целое неотрицательное число
показывает, сколько раз простое число
входит в разложение числа
на простые множители,
.
Такое представление целого числа
называется каноническим разложением
целого числа на простые множители.
Определение 4.6. Процесс представления целого числа в виде канонического разложения на простые множители называется факторизацией этого числа.
С основной теоремой арифметики, а также следствиями из неё связано решение многих математических задач.
Пример. Представим число 985608 в виде канонического разложения на простые множители. Для этого будем последовательно делить данное число на простые числа, начиная с наименьшего простого числа 2. Процесс факторизации данного числа схематично можно представить в виде:
Таким
образом, каноническое разложение на
простые множители имеет вид:
Пример.
Найти пять наименьших натуральных чисел
для которых число
является произведением трёх различных
простых чисел
и
Очевидно, что любое натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным, т. е. может быть записано одним из следующих способов:
или
где
1. Если
то
По условию,
есть произведение трёх простых различных
чисел
и
но при указанных
это условие невыполнимо.
2.
Если
,
то
При
условие задачи не выполняется.
При
т. е.
При
т. е.
При
условие задачи не выполняется.
При
т. е.
При
т. е.
При
условие задачи не выполняется.
При
т. е.
