3.7. Подкольца. Идеалы. Сравнение по идеалу. Факторкольцо

Определение 3.52. Подмножество основного множества кольца называется подкольцом кольца , если оно само является кольцом относительно главных операций кольца .

Теорема 3.14 (свойства подкольца). Пусть подкольцо кольца . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. для любых элементов и множества элементы и также принадлежат множеству ;

2. ноль и единица кольца являются соответственно нулём и единицей подкольца

Определение 3.53. Подкольцо кольца называется левым (правым) идеалом кольца, если для любого элемента и для любого элемента произведение принадлежит множеству Для обозначения соответствующего факта используется запись:

Замечания.

1. Очевидно, что элементы идеала кольца устойчивы относительно умножения на элементы кольца.

2. Если подкольцо является левым и правым идеалом одновременно, т. е. для любого элемента и для любого элемента оба произведения и принадлежит множеству то идеал называется двусторонним.

3. В коммутативном кольце любой идеал является двусторонним.

Теорема 3.15 (критерий идеала). Пусть подмножество основного множества кольца . Алгебра является идеалом кольца тогда и только тогда, когда

1. для любых элементов разность также принадлежит

2. для любого элемента и для любого элемента одно из произведений (или оба) принадлежат множеству

Примеры.

1. Множество чётных чисел относительно сложения и умножения является идеалом кольца целых чисел поскольку разность двух произвольных чётных чисел – число чётное (выполняется условие 1) критерия идеала), и произведение любого чётного числа на любое целое число – чётное число (выполняется условие 2) критерия идеала).

2. Рассмотрим кольцо квадратных матриц второго порядка , а также подмножество множества . Указанное подмножество не является идеалом кольца . Действительно, для любых двух матриц и их разность также принадлежит множеству ; но произведения произвольной матрицы с произвольной матрицей вида и не принадлежат множеству , т. е. условие 2) критерия идеала кольца не выполнено.

3. В кольце квадратных матриц порядка n множество матриц, у которых последний столбец (строка) состоит из нулей, образует подкольцо, которое является левым (правым) идеалом кольца.

На множестве идеалов некоторого кольца рассмотрим операции сложения идеалов и умножения идеалов, которые определим следующим образом:

где произвольные идеалы кольца .

Теорема 3.16. Сумма и произведение двух любых идеалов кольца являются идеалами этого кольца.

Определение 3.54. Элементы называются сравнимыми по идеалу кольца , если их разность принадлежит множеству . Этот факт обозначают записью вида

которая называется сравнением по идеалу.

Теорема 3.17. Отношение сравнения по идеалу, заданное на основном множестве кольца, является отношением эквивалентности.

Определение 3.55. Классы эквивалентности отношения сравнения по идеалу кольца называются смежными классами кольца по идеалу :

Теорема 3.18 (свойства смежных классов кольца по идеалу). Пусть идеал кольца . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. любые два смежных класса кольца по идеалу либо совпадают, либо не пересекаются;

2. объединение всех смежных классов кольца по идеалу совпадает с основным множеством кольца;

3. смежные классы и кольца по идеалу совпадают тогда и только тогда, когда имеет место сравнение

Теорема 3.19 (свойства сравнений по идеалу). Справедливы следующие утверждения:

1. сравнения по одному и тому же идеалу кольца можно почленно складывать и вычитать:

2. сравнения по одному и тому же идеалу кольца можно почленно перемножать:

3. обе части сравнения по идеалу кольца можно умножать на любое целое число:

Как уже известно, любое отношение эквивалентности разбивает множество, на котором оно задано, на непересекающиеся классы эквивалентности. Так же и отношение сравнения по идеалу кольца разбивает основное множество кольца на непересекающиеся смежные классы кольца по идеалу . Множество этих классов называется фактормножеством кольца по идеалу и обозначается символом На фактормножестве определим операции сложения и умножения смежных классов кольца по идеалу следующим образом:

Можно показать, что результаты введённых операций не зависят от выбора представителя смежного класса кольца по идеалу , т. е. операции заданы корректно.

Определение 3.56. Алгебра называется факторкольцом кольца по идеалу .

Теорема 3.20. Факторкольцо является кольцом.