3.5. Нормальные делители группы

Определение 3.45. Пусть H – подгруппа группы G. Подгруппа H называется нормальным делителем группы G, если для любого элемента и любого элемента произведение является элементом подгруппы H.

Обозначение:

Основное свойство нормальных делителей группы представлено в следующей теореме.

Теорема 3.13. Подгруппа H группы G является её нормальным делителем тогда и только тогда, когда каждый правый смежный класс группы G по подгруппе H совпадает с её левым смежным классом:

Из теоремы 3.13 следует способ нахождения нормальных делителей группы:

1. найти все подгруппы данной группы;

2. разложить группу на левые смежные классы по её подгруппам;

3. разложить группу на правые смежные классы по её подгруппам;

4. сравнить множества левых и правых смежных классов группы по подгруппам. Если для каких-либо подгрупп эти классы совпадают, эти подгруппы и являются нормальными делителями группы.

Примеры.

1. Подгруппу S = группы подстановок третьей степени S₃ = не является её нормальным делителем, поскольку два правых и два левых смежных класса группы по подгруппе содержат различные элементы, т. е. не совпадают как множества.

2. Рассмотрим мультипликативную группу M_n×n = всех невырожденных квадратных матриц с действительными элементами и её подгруппу M_>0 = , состоящую из тех матриц, определитель которых положительный. Подгруппа M_>0 является нормальным делителем группы M_n×n. Действительно, выберем в множестве произвольную матрицу А, а в множестве произвольную матрицу В. Поскольку знаки определителей матриц и совпадают, то знак определителя совпадает со знаком определителя . А поскольку то и Таким образом, т. е. M_>0 M_n×n.

3. Любая подгруппа мультипликативной абелевой группы является её нормальным делителем.

3.6. Кольца

Определение 3.46. Алгебра K = с основным множеством и двумя бинарными операциями сложения и умножения называется кольцом, если эти операции удовлетворяют следующей системе аксиом:

1. Операция сложения элементов множества коммутативна:

2. Операция сложения элементов множества ассоциативна:

3. Во множестве существует элемент нейтральный относительно сложения элементов множества:

При этом элемент называется нулём (нулевым элементом) кольца .

4. Для каждого элемента множества существует противоположный элемент :

5. Операция умножения элементов множества дистрибутивна относительно сложения:

и

6. Операция умножения элементов множества ассоциативна:

Здесь произвольные элементы множества .

Замечание. Поскольку кольцо удовлетворяет аксиомам 1–4, оно образует аддитивную абелеву группу. Эта группа называется аддитивной группой кольца.

Примеры.

1. Множества целых, рациональных, действительных и комплексных чисел по операциям сложения и умножения чисел образуют кольца.

2. Множество квадратных матриц порядка n с элементами некоторого множества F по операциям сложения и умножения матриц образует кольцо.

3. Множество векторов трёхмерного векторного пространства по операциям сложения векторов и векторного произведения образует кольцо.

4. Множество функций одной действительной переменной, непрерывных на некотором отрезке, по операциям сложения и умножения функций образует кольцо.

5. Рассмотрим множество Покажем, что это множество образует кольцо . Указанное множество образует алгебру, поскольку оно замкнуто относительно сложения и умножения своих элементов. Действительно, для любых сумма и произведение также являются элементами множества

Покажем теперь справедливость аксиом кольца. Аксиомы коммутативности и ассоциативности сложения, аксиома ассоциативности сложения, а также аксиома дистрибутивности умножения очевидны. Нейтральным по сложению в множестве является число а противоположным для элемента является число

6. Рассмотрим множество На этом множестве зададим операцию сложения:

а операцию умножения зададим обычным способом. Указанное множество с заданными операциями образует кольцо

Определение 3.47. Если в кольце K = операция сложения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.

Определение 3.48. Элементы и кольца K = называются делителями нуля, если

и

Определение 3.49. Элемент кольца K = называется единицей кольца если для любого элемента справедливы равенства

Существуют различные классификации колец. Наиболее распространёнными являются следующие.

1. По количеству элементов в основном множестве кольца выделяют конечные и бесконечные кольца.

2. По дополнительным свойствам кольца выделяют: коммутативные и некоммутативные кольца, кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля, кольца с единицей и кольца без единицы.

Примеры.

1. Рассмотрим кольцо квадратных матриц второго порядка и в этом кольце рассмотрим два элемента:

Очевидно, и

Следовательно, является кольцом с делителями нуля.

2. Все кольца, основным множеством которых является некоторое числовое множество, есть кольца без делителей нуля.

3. Рассмотрим кольцо функций одной действительной переменной, непрерывных на отрезке Это кольцо является кольцом с делителями нуля. Делителями нуля, например, являются такие элементы этого кольца:

4. Кольца целых, рациональных, действительных и комплексных чисел являются кольцами с единицами. Единицей этих колец является число единица.

5. Кольцо чётных чисел является кольцом без единицы.

Определение 3.50. Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Определение 3.51. Коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором каждый элемент обратим, называется полем.

Примеры.

1. Кольцо целых чисел является областью целостности. Во-первых, произведение целых чисел коммутативно, т. е. кольцо целых чисел коммутативно. Во-вторых, в кольце содержится единица: В-третьих, в кольце целых чисел нет делителей нуля, поскольку для любых отличных от нуля целых чисел и равенство смысла не имеет.

2. Кольца рациональных, действительных и комплексных чисел образуют соответствующие поля. Кольцо целых чисел поле не образует.

Для любых элементов кольца выполняются следующие равенства утверждения:

1. если то

2. если то

3. 

4. 

5. 

6. 

7. и