3.3. Группы

Определение 3.41. Алгебра G = с бинарной операцией называется группой, если:

1. бинарная операция ассоциативна;

2. во множестве существует элемент нейтральный относительно операции ;

3. для любого элемента в множестве существует элемент симметричный относительно операции .

Существуют различные классификации групп. Наиболее распространёнными являются следующие.

1. В зависимости от того, является ли основное множество конечным или бесконечным, выделяют соответственно конечные и бесконечные группы.

2. В зависимости от того, обладает ли бинарная операция свойством коммутативности или нет, выделяют соответственно коммутативные (абелевы) и некоммутативные (неабелевы) группы.

3. По виду бинарной операции выделяют аддитивные (операция сложения) и мультипликативные (операция умножения) группы.

Примеры.

1. Алгебра Z = является аддитивной абелевой группой. Действительно, операция сложения целых чисел ассоциативна; нейтральным относительно сложения целых чисел является целое число ноль; для каждого целого числа существует ему симметричное относительно сложения – противоположное по знаку целое число; кроме того, сложение целых чисел коммутативно.

2. Множество всех отличных от нуля рациональных чисел образует мультипликативную абелеву группу Q = . Замкнутость основного множества относительно бинарной операции умножения очевидна; свойства ассоциативности и коммутативности умножения рациональных чисел выполняются; нейтральный элемент относительно умножения – единица – принадлежит основному множеству ; для каждого элемента в множестве существует симметричный относительно умножения – обратное число.

3. Множество рациональных чисел относительно операции умножения группу не образует. Поскольку рациональное число ноль не имеет симметричного элемента по операции умножения.

4. Множество квадратных невырожденных матриц порядка n относительно операции умножения матриц образует некоммутативную мультипликативную группу M_n×n = . В этой группе нейтральным элементом относительно умножения матриц является единичная матрица порядка n, а симметричным для каждого элемента относительно операции умножения матриц является обратная матрица.

5. Множество перестановок третьей степени относительно операции композиции перестановок образуют конечную неабелеву группу. Покажем это. Множество состоит из следующих элементов:

Для проверки замкнутости множества относительно операции композиции перестановок и выявления свойств этой операции воспользуемся таблицей Кэли (см. табл. 3.2).

Таблица 3.2

Поскольку ячейки таблицы Кэли заполнены элементами множества , множество замкнуто относительно операции композиции перестановок, т. е. S₃ = – алгебра.

Первая строка таблицы Кэли полностью повторяет верхнюю строку, а первый столбец – левый столбец, следовательно, в множестве существует элемент, нейтральный относительно композиции перестановок. Этот элемент есть тождественная перестановка

Каждая строка и каждый столбец таблицы Кэли содержат нейтральный элемент, поэтому для каждого элемента в существует симметричный относительно операции композиции перестановок.

Ассоциативность композиции перестановок доказана в общем случае. Тогда, в соответствии с определением 3.41, S₃ = – группа. Поскольку таблица Кэли несимметрична относительно главной диагонали, операция композиции перестановок некоммутативна, поэтому группа S₃ неабелева.

Простейшие свойства групп представлены в следующей теореме.

Теорема 3.4. Пусть G = – группа. Тогда

1. нейтральный элемент относительно операции единственный;

2. для каждого элемента симметричный элемент единственный;

3. уравнения вида разрешимы в группе G и имеют единственное решение.

Следующие теоремы можно считать эквивалентными определениями группы.

Теорема 3.5. Алгебра G = является группой тогда и только тогда, когда

1. операция ассоциативна;

2. уравнения вида разрешимы в G и имеют единственное решение.

Теорема 3.6. Алгебра G = является группой тогда и только тогда, когда

1. операция ассоциативна;

2. в G относительно операции существует правый (левый) нейтральный элемент;

3. в G для каждого элемента относительно операции существует правый (левый) симметричный элемент.

Пример. Рассмотрим множество квадратных матриц второго порядка специального вида:

и на этом множестве введём операцию сложения матриц. Множество замкнуто относительно операции сложения. Действительно, результат сложения любых двух матриц из

также является элементом множества , т.е. алгебра.

Для проверки того, является ли эта алгебра группой, можно воспользоваться определением 3.41 или одной из теорем – 3.5 или 3.6. Воспользуемся теоремой 3.5, для чего проверим выполнение её условий:

1. операция сложения элементов множества ассоциативна в силу того, что этим свойством обладает операция сложения матриц общей структуры;

2. уравнения

и

разрешимы в : их решением будет матрица

принадлежащая множеству . Такая матрица будет единственным решением этих уравнений.

Таким образом, в соответствии с утверждением теоремы 3.5, алгебра группа.