Министерство транспорта российской федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Гоу впо «дальневосточный государственный

университет путей сообщения»

Кафедра «Высшая математика»

А.Г. Ереклинцев

Алгебра

Рекомендовано

Методическим советом ДВГУПС

в качестве учебного пособия

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

2009

УДК 512(075.8)

ББК В14я73

Е 700

Рецензенты:

Кафедра математики

Дальневосточного государственного гуманитарного университета

(заведующая кафедрой кандидат педагогических наук, доцент

И.В. Карпова)

Кандидат педагогических наук,

доцент кафедры «Высшая математика»

Тихоокеанского государственного университета

Т.В. Сясина

Ереклинцев, А. Г.

Е 700

Алгебра : учеб. пособие / А. Г. Ереклинцев. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2009. – 91 c.

Учебное пособие разработано в соответствии ГОС ВПО направления подготовки дипломированных специалистов 090100 «Информационная безопасность» специальности 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем».

Рассматриваются следующие разделы математики: линейная алгебра, комбинаторика, теория групп, кольцо целых чисел, теория сравнений. Приведено большое количество примеров и задач с решениями.

Предназначено для студентов 1-го курса, изучающих дисциплину «Алгебра».

УДК 512(075.8)

ББК В14я73

© ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный

университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2009

Введение

Алгебра – один из самых больших разделов математики, принадлежащих наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности, исходя из различных аспектов практической деятельности человека. Развитие алгебры, её методов и символики оказало существенное влияние на науку, подготовив серьёзный фундамент и способствуя появлению многочисленных областей математики. Наиболее важная в приложениях часть алгебры – линейная алгебра. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к линейной алгебре, была теория линейных уравнений, развитие которой привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них. Применение аппарата классической алгебры в условиях развития науки и техники возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел, причём эти операции могут осуществляться над объектами самой различной природы. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, мы приходим к понятиям множеств, наделённых абстрактными алгебраическими структурами (алгебрам, группам, полям, кольцам и т. д.), которые изучаются в теории групп. Указанные математические структуры повсеместно используются в математике и естественных науках. В теории Галуа, которая и дала начало понятию теории групп, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Абелевы группы являются основой для построения более сложных объектов абстрактной алгебры, таких как кольца и поля. В комбинаторике понятие группы подстановок используется для упрощения подсчёта числа элементов некоторого множества. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрии молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы.

С алгеброй и, в частности, с таким её разделом как теория групп, тесно связаны многие вопросы теории чисел, например такие важные как делимость и деление с остатком в кольце целых чисел, а также многочисленные приложения теории сравнений.

Предлагаемое учебное пособие должно оказать помощь в овладении основными понятиями, утверждениями и методами высшей алгебры, а также в умении применять их при решении различных математических задач.

Весь материал пособия разбит на разделы и подразделы, в которых приведены основные теоретические сведения (определения, утверждения и правила), а также примеры и задачи с подробными решениями. Такое изложение материала позволит студентам, изучающим соответствующие вопросы алгебры, овладеть стандартными приёмами и навыками и впоследствии творчески применять их в решении сложных задач.

Представленный в учебном пособии материал может быть использован преподавателями кафедры «Высшая математика» на лекционных и практических занятиях, консультациях и экзаменах при составлении вариантов расчётно-графических заданий, контрольных работ и экзаменационных билетов.