Примеры решения задач по молекулярной физике

При решении задач этого раздела необходимо пользоваться следующими рекомендациями:

1. Использовать уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева - Клапейрона) для определения макро- параметров состояния газа

. (2.8.1)

2. Для определения микроскопических характеристик молекулярного движения использовать функцию распределения Максвелла молекул по скоростям или функцию распределения Больцмана при наличии потенциальных силовых полей:

; (2.8.2)

. (2.8.3)

3. Использовать уравнения переноса, формулы коэффици- ентов переноса (внутреннего трения, диффузии, теплопроводности) и явления столкновения молекул (длина свободного пробега, эффективное сечение молекул).

4. Использовать уравнения кинетической теории газов и закон Дальтона:

; (2.8.4)

. (2.8.5)

Пример 1. Найти число молекул кислорода, находящегося в объеме V = 2·10^-3 м³ при температуре Т = 300 К и давлении р = 10⁵ Па, скорости которых лежат в интервале от 490 до 500 м/c.

Дано: V = 2·10^-3 м³; Т = 300 К; р = 10⁵ Па; = 490 – 500 м/с.

Н айти: N -?

Решение. Число искомых молекул связано с полным числом молекул газа соотношением

, (1)

где – функция распределения Максвелла (2.8.2), .

Аргументом v функции служит среднее арифметическое между v₁ и v₂, которое можно считать как v = v₂ = 500 м/с в силу малости по сравнению с v₁ и v₂.

Число молекул N получим из уравнения состояния идеального газа (2.8.1) для нормальных условий, т.е. при давлении р = 10⁵ Па и температуре Т = 273 К:

. (2)

Учитывая, что , из формулы (1) найдем

. (3)

Подстановка числовых значений в выражение (3) дает

= 1,29·10²².

Ответ: = 1,29·10²².

Пример 2. Идеальный газ нагревают при постоянном давлении. Как изменятся средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений его молекул в одну секунду с изменением температуры?

Д ано: р = const.

Найти: -?, -?

Решение. Если газ нагревать, поддерживая давление посто- янным, то его объем согласно уравнению газового состояния (2.8.1) будет увеличиваться с температурой линейно:

. (1)

Концентрация молекул газа будет уменьшаться:

. (2)

Длина свободного пробега

(3)

зависит только от концентрации (2) и будет расти пропорционально температуре:

. (4)

Частота столкновений с учетом формулы (4)

(5)

зависит от температуры через n и среднеарифметической скорости

,

т. е. ,

и при р = const уменьшается с ростом температуры как .

Ответ: ; .

Задачи

98. Найти наиболее вероятную и среднюю скорости молекул хлора при температуре Т = 500 К. Молярная масса хлора .

99. На какой высоте давление воздуха р вдвое меньше давления на уровне моря? Температуру Т = 273 К считать постоянной.

100. Найти число молекул водорода, находящегося в нормальных условиях в объеме V = 10^-3 м³, скорости которых лежат в интервале от 990 до 1000 м/c.

101. Найти кинетическую энергию молекул водорода, находящегося в объеме V = 5 л под давлением р = Па.

102. Какова длина свободного пробега молекул воздуха при давлении p = 100 Па и температуре 17 ? Эффективный диаметр молекулы d = 3·10^-10 м.

103. Газ при давлении p = 980 ГПа и температуре t^o = 20^о С имеет объем V = 164 м³. Каков объем той же массы газа при нормальных условиях?

104. При каком давлении р средняя длина свободного пробега молекул азота = 1 мм, если при нормальном давлении она равна = см?

105. Найти коэффициент теплопроводности гелия, составляющего атмосферу Солнца. Температура солнечной поверхности Т = . Эффективный диаметр атомов гелия d = 2,18·10^-10 м, молярная масса кг/моль.

106. В сосуде объемом V = 5·10^-3 м³ содержится N = 10²³ молекул одноатомного газа. Коэффициент теплопроводности этого газа = . Найти при этих условиях коэффициент диффузии газа D.

107. Вычислить среднюю длину свободного пробега и время между двумя столкновениями молекул кислорода при давлении р = 0,2 мПа и температуре Т = 290 К. Эффективный диаметр молекул кислорода d = .

108. Вычислить коэффициент теплопроводности водорода

( = кг/моль), вязкость которого =

106. Во сколько раз изменится коэффициент вязкости воздуха при понижении температуры от t₁ = 20^o C до t₂ = - 40^o C в связи с подъемом самолета на большую высоту?

107. Двухатомный газ, масса которого m = 1 кг и плотность

= 4 кг/м³, находится под давлением р = 80 кПа. Найти энергию

теплового движения W молекул газа при этих условиях.