Міністерство освіти і науки України

Черкаський художньо-технічний коледж

Елементи вищої математики

Методичні рекомендації для самостійного вивчення теми

Комплексні числа

Розглянуто і схвалено на засіданні

циклової комісії викладачів

природничо-математичного циклу

Протокол № __ від __________20__р.

Черкаси 2012 р.

Тема 1: Комплексні числа

Комплексні числа та дії над ними. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в тригонометричній та показниковій формах.

Мета: Метою теми «Комплексні числа» є завершення вивчення історії розвитку поняття числа, що дасть можливість на належному рівні розглядати технічні процеси, теорії розв’язування рівнянь, створити математичний апарат для розрахунків.

Основні вимоги

У результаті вивчення теми студенти повинні вміти:

• виконати дії над комплексними числами у різних формах запису;

• здійснити перехід від однієї форми запису комплексного числа до іншої;

• зображати комплексні числа геометрично.

Історична довідка

Комплексні числа виникли із практики розв'язування алгебраїчних рівнянь. Під час розв'язування квадратного рівняння у випадку, коли його дискримінант від'ємний, корені не можуть бути дійсними. Те саме спостерігалося і під час розв'язування рівнянь вище другого степеня, тому постала необхідність у розширенні поняття числа.

З комплексними числами вперше зіткнулися індійські вчені, які вже мали поняття про квадратний корінь і від'ємні числа. Але вони вважали, що квадратні корені з від'ємних чисел не існують, а тему квадратні рівняння з недійсними коренями не розглядали.

У XVI ст. італійські математики зробили значний внесок у розвиток алгебри, розв'язавши в радикалах рівняння третього і четвертого степенів. Зокрема, в опублікованій у 1545 р. праці італійського матема­тика Джироламо Кардано (1501—1576) «Велике мистецтво» наведено формулу алгебраїчних розв'язків кубічного рівняння х ³+ рх + q = 0.

Цікавим є такий факт: за умови, що всі коефіцієнти цього рівняння дійсні, усі корені дійсні, проміжні обчислення приводять до уявних чисел (їх називали «фальшивими», «неіснуючими»). Відповідний випадок розв'язування згаданого кубічного рівняння називали «незвідним». У зв’язку із застосуванням формули Кардано з'явилися символи виду (b > 0), яким спочатку не надали будь-якого смислу, але ними оперували у проміжних викладках, поширюючи на них правила дійсними числами.

Інший італійський математик Раффаеле Бомбеллі (1530—1572) вперше виклав правила дій над комплексними числами майже у сучасному вигляді. Рене Декарт, який ототожнював дійсні числа з відрізками координатної осі, вважав, що для комплексних чисел не може існувати жодного реального тлумачення, а тому вони назавжди залишаються уявлюваними. Такого погляду дотримувалися й інші ма­тематики того часу, у тому числі Ісаак Ньютон і німецький учений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716).

У XVII ст. англійський математик Джон Валліс (1616— 1703) у своїй праці «Алгебра, історичний і практичний трактат» (1685) вказав на можливість геометричного тлумачення уявних чисел. Лише у XVIII ст. для розв'язування численних задач математичного аналізу, механіки і геометрії виникла потреба у геометричній інтерпретації комплексних чисел.

Початок застосування комплексних чисел в диференціальному та інтегральному численні поклали Лейбніц і швейцарський математик Іоганн Бернуллі, які ще в 1702 р. чисто формально використовували логарифми уявних чисел для інтегрування дробів з уявними знаменни­ками. В 1712 р. між Лейбніцем та І. Бернуллі виникла суперечка щодо природи логарифмів комплексних і від'ємних чисел. Лейбніц стверджу­вав, що логарифми від'ємних чисел уявні, а І. Бернуллі вважав, що вони дійсні. Це питання розв'язав у 1749 р. Ейлер на користь Лейбніца. Формулу (cos ² = було виведено у пер­шій чверті XVIII ст. англійським ученим Абрахамом де Муавром (1667—1754). У сучасному вигляді цю формулу навів Ейлер у «Вступі до аналізу», застосовуючи замість символа і загально вжи­ваний у ті часи символ .

Цікаво, що Лейбніц, називаючи комплексні числа «притулком божественного духу», заповів викарбувати на своїй могильній плиті злак як символ потойбічного світу.

Символ і було введено Ейлером у 1777 р. (опубліковано у 1794 p.).

Поняття «модуль» і «аргумент» комплексного числа ввів французь­кий учений Жан Лерон Д' Аламбер (1717—1783). Самі ж ці терміни було введено у XIX ст. швейцарським математиком Жа­ном Робертом Арганом (1768—1822) і французьким мате­матиком Огюстєном Луї Коші (1789—1857).

Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними оста­точно закріпилось у математиці лише після виходу у 1831 р. праці німецького математика Кар л а Фрідріха Гаусса (1777— 1855) «Теорія біквадратних лишків». Гаусс замінив назву «уявні числа» на термін «комплексні числа».

В 70-х роках XVIII ст. Ейлер і Лагранж застосували поняття комплексної. змінної до розв'язування багатьох задач, зокрема задачі побудови геометричних карт. Комплексні числа застосовували у своїх працях з гідродинаміки Д'Аламбер та Ейлер.

За допомогою теорії функцій комплексної змінної, яка розвинула­ся на основі комплексних чисел, було розв'язано багато проблем аеро- і гідродинаміки, теорії пружності, радіотехніки та ін.