2.4.1. Условия однозначности
Как уже отмечалось, общее решение дифференциального уравнения описывает целый класс процессов. Для получения частного решения, соответствующего конкретным условиям проведения процесса, необходимо задание условий однозначности. Они включают:
1) геометрическую форму и размеры системы;
2) физические свойства участвующих в процессе сред;
3) начальные условия, характеризующие состояние системы в начальный момент времени (для нестационарных процессов);
4) граничные условия, характеризующие поведение системы на ее границах, либо взаимодействие с окружающей средой.
Рассмотрим математическую формулировку условий однозначности.
1.
Форма и размеры системы (рабочая зона
аппарата) задаются одной или несколькими
поверхностями, ее ограничивающими.
Поскольку, размеры аппарата, как правило,
во времени не меняются, типичные
геометрические условия имеют вид
.
Например, поверхность вертикального
цилиндра радиуса R
задается уравнением
.
2.
Физическими свойствами среды являются
плотность и коэффициенты переноса. Если
правомерно допущение о постоянстве их
значений, то они задаются числами. Однако
в общем случае плотность и коэффициенты
молекулярного переноса зависят от
температуры и соотношения концентраций
компонентов, что требует задания
зависимостей
,
,
,
.
Еще сложнее дело обстоит с коэффициентами
турбулентного переноса, так как они к
тому же зависят от режима движения и
пространственных координат
,
,
.
Единственным упрощением является
близость значений этих коэффициентов
в одинаковых условиях:
.
Это объясняется наличием только
поступательной составляющей турбулентного
механизма переноса (см. разд. 1.3.1).
3.
Начальные условия предполагают задание
значений искомых переменных в начальный
момент времени в области пространства,
ограниченной поверхностью
,
т.е.
,
,
,
,
.
В дальнейшем с целью упрощения записи будем опускать индексы «m-» у среднемассовой скорости, определенной в лабораторной системе отсчета.
4. Граничные условия предполагают задание значений давлений, скоростей, температур и концентраций либо значений потоков массы, импульса и тепла или условий, накладываемых на них на границах системы, т.е. на поверхности:
:
,
,
,
;
либо
,
,
,
,
.
2.4.2. Поля скорости, давления, температуры и концентраций,
понятие о пограничных слоях
Итак, для отыскания полей скорости, давления, температуры и концентраций в аппарате необходимо решать систему уравнений, представляющую исчерпывающее математическое описание процессов переноса. К сожалению, в общем случае получить строгое аналитическое решение не представляется возможным. К тому же в случае многофазных систем необходимо решать совместно системы уравнений для каждой из фаз. Для сложных аппаратов, например, для тарельчатых колонн, порой проблему представляет сама запись условий однозначности.
В
связи с этим непосредственное определение
полей давления, скорости, температуры
и концентраций с помощью исчерпывающего
описания применяют в инженерной практике
лишь для частных простейших случаев.
Например, аналитическое выражение для
полей давления и скорости при ламинарном
движении среды в трубе можно определить
на основе решения уравнений неразрывности
и движения Навье-Стокса, для полей
температуры и концентраций в неподвижной
среде - на основе решения уравнений
Фурье и Фика соответственно. Необходимо
отметить, что в случае одновременного
протекания процессов переноса массы,
импульса и энергии все уравнения
необходимо решать совместно, так как
физические свойства среды, входящие в
каждое уравнение, определяются полями
всех этих величин. Если пренебречь
зависимостями плотности и вязкости
среды от температуры и концентрации,
то поля среднемассовой скорости
и
давления
можно найти из совместного решения
уравнений неразрывности и движения, а
затем, подставив
в уравнения нестационарной конвективной
теплопроводности и диффузии, определить
поля температуры и концентраций. Развитие
вычислительной техники предоставило
возможность численного решения системы
уравнений, составляющих исчерпывающее
описание процессов переноса. Недостатками
этого способа являются отсутствие
аналитического решения, большие затраты
машинного времени, проблема сходимости
решения.
Обычно идут по пути упрощения исчерпывающего описания. Например, поскольку, как правило, в системе имеется граница раздела фаз, вблизи которой происходит наибольшее изменение искомых величин, вводится понятие пограничных слоев. Пограничным слоем считают область, примыкающую к границе раздела фаз, в которой происходит 99% изменения соответствующего параметра. Пространство аппарата вне пограничного слоя называется ядром потока. Упрощение заключается в пренебрежении изменения полей в ядре потока. Соответственно можно рассматривать различные виды пограничных слоев: гидродинамический (область изменения скорости), тепловой (температуры), диффузионный (концентраций). Поскольку, как правило, характерный размер пограничного слоя (толщина ) значительно меньше линейных размеров аппарата, его описание можно сократить с трехмерного до двух- или одномерного, что значительно упрощает процедуру решения.