2.3.2. Локальная форма закона сохранения импульса

Аналогично законам сохранения массы и энергии можно получить локальную (для отдельной точки пространства) форму закона сохранения импульса.

Отличие будет заключаться лишь в векторной природе переносимой субстанции - импульса единичного объема :

, (2.54)

где - ускорение, приобретаемое системой за счет действия массовых сил. Массовой силой, действующей на систему, является сила тяжести, соответственно , где - ускорение свободного падения. При вращательном движении возникнет еще одна сила - центробежная. Однако способ ее учета в уравнении движения (2.54) будет зависеть от выбора системы отсчета. Если лабораторная система отсчета связана с аппаратом, который вращается вместе со средой, то центробежная сила учитывается как массовая и . Если же лабораторная система отсчета связана с Землей и вращение происходит относительно нее, то вводить центробежную силу дополнительно не следует, она автоматически появится при записи конвективных членов уравнения движения (см., например, в приложении П.2.2 уравнение движения, где ).

Разделив тензор потока импульса на конвективную часть и тензор вязких напряжений (1.49), можно представить общий вид уравнения движения с использованием субстанциональной производной:

. (2.55)

Допустив постоянство плотности и коэффициента молекулярной вязкости, получим для ламинарного движения уравнение Навье-Стокса:

, (2.56)

где . (2.57)

Поскольку уравнение (2.56) является векторным, оно может быть представлено в виде трех уравнений для всех координат. Можно поделить на плотность каждый из членов уравнения (2.56), тогда

. (2.58)

Рассмотрим частные случаи уравнения Навье-Стокса. Для идеальной среды движущейся без трения (=0), оно переходит в уравнение движения Эйлера:

, (2.59)

а для покоящейся среды - в уравнение равновесия Эйлера

. (2.60)

Решая уравнение движения совместно с уравнением неразрывности и условиями однозначности, можно получить поля давления, скорости и потока импульса в аппарате. К сожалению, система уравнений (2.55) и (2.16) не имеет общего аналитического решения. Получены решения лишь для частных простейших случаев. Кроме того, возможно численное решение этой системы дифференциальных уравнений с использованием компьютеров. Однако это требует больших затрат машинного времени и затрудняет теоретический подход к проектированию аппаратов.

2.4. Исчерпывающее описание процессов переноса

Дифференциальные уравнения второго порядка с частными производными, полученные на основе уравнений переноса и законов сохранения массы, импульса и энергии (2.16), (2.27), (2.45), (2.55) или их частные случаи, а также условия однозначности к ним, составляют исчерпывающее математическое описание процессов переноса (без учета переноса тепла посредством излучения). Оно в принципе позволяет решить как прямую задачу поверочного расчета любого аппарата, т.е. зная конструкцию и размеры аппарата, находить поля скорости, давления, температуры и концентраций в нем; так и обратную задачу проектного расчета - определять размеры аппарата по требуемым значениям перечисленных выше величин на входе и выходе из него. Проблема заключается лишь в математической сложности решения этих задач.