Пример решения ргр № 3

Рассмотрим две балки – консольную балку и балку на двух опорах. Для консольной балки (рис. 7) опорные реакции в заделке не вычисляются, т. к. построение эпюр начинается со свободного конца балки.

Первый участок 0  z₁  4 м.

Поперечная сила:

,

при z₁ = 0 Q₁ =  30 кН,

при z₁ = 4 м Q₁ = 10 кН;

при z₁ = z₀ = Р/q = 3 м Q₁ = 0.

Рис. 7. Консольная балка

Изгибающий момент: , при z1 = 0 М1 = 0, при z1 = 4 м М1 = 40 кНм; при z0 = Р/q = 3 м М1 = Mmax = 45 кНм. Эпюра изгибающего момента на первом участке имеет форму квадратичной параболы, выпуклость которой направлена навстречу q. Второй участок 0  z2  2 м. Поперечная сила: = 10 кН. Изгибающий момент: , при z2 = 0 М2 = 10 кНм, при z2 = 2 м М2 =  10 кНм.

Расчетная схема балки на двух опорах представлена на рис. 8.

Рис. 8. Балка на двух опорах

Определение реакций в опорах осуществляется через уравнения статики: . кН. кН. Проверка: . Балка имеет 4 участка. Составляем для каждого участка уравнения поперечных сил и изгибающих моментов.

Первый участок 0  z₁  1 м.

кН.

, при z₁ = 0 М₁ = 0, при z₁ = 1 м М₁ = 22 кНм.

Второй участок 0  z₂  1 м.

кН.

, при z₂ = 0 М₂ =  8 кНм, при z₂ = 1 м М₂ = 14 кНм.

Третий участок 0  z₃  2 м.

, при z₃ = 0 Q₃ = 18 кН, при z₃ = 2 м Q₃ =  2 кН, Q₃ = 0, при z₃ = 1,8 м.

Эпюра моментов имеет вид квадратичной параболы, максимум которой находится при z₃ = 1,8 м.

, при z₃ = 0 М₃ = 0, при z₃ = 1,8 м М₃ = 16,2 кНм, при z₃ = 2 м М₃ = 16 кНм.

Четвертый участок 0  z₄  1 м.

Для четвертого участка необязательно записывать уравнения сил и моментов, достаточно соединить точки значений сил и моментов на 3-м и 2-м участках.

Рассмотрим подбор прямоугольного поперечного сечения на примере консольной балки. Условие прочности балки по нормальным напряжениям: . Условие прочности балки по касательным напряжениям: .

Из эпюр Q_y и M_z следует, что М_max = 45 кНм, Q_max = 30 кН. м². Момент сопротивления прямоугольного сечения , выразив сторону b через h, получим . Требуемая высота балки составит: 0,188 м. Округляем до четного числа и получаем h = 0,19 м. Ширина балки составит b = 0,13 м. Проверим условие прочности по нормальным напряжениям: = 57,5 МПа меньше допускаемых = 60 МПа. Проверим условие прочности по касательным напряжениям: = 1,8 МПа, что значительно меньше допустимых = 40 МПа.

Для консольной балки определяем угол поворота и прогиб концевого сечения методом начальных параметров. Начало координат устанавливаем в заделку (рис. 9). Начальные параметры – угол поворота в заделке ₀ = 0 и прогиб в заделке y₀ = 0. Уравнение для определение угла поворота сечения В примет вид: . После подстановки известных значений получим: рад. Модуль упругости чугуна Е =

= 1,510⁵ МПа, осевой момент инерции прямоугольного сечения J_х = 7,4310^7 м⁴. Окончательно _В = 0,19 рад  11⁰.

Рис. 9.

Уравнение для определения прогиба балки в сечении В приобретает следующий вид:

. = 0,663 м.