Решение типовых задач
Задача 1.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 200 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 215 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 220 млн. руб. В начале третьего года в портфель внесли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 250 млн. руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 15 млн. руб. В конце года его стоимость составила 260 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.
Решение:
Доходность портфеля вычислим по методу средней геометрической (формула (6.5)):
или 8,73 % годовых.
Задача 2.
Менеджер управлял портфелем в течение трех месяцев. В начале периода в портфель инвестировали 150 млн. руб. Через три месяца его стоимость выросла до 160 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год на основе простого процента.
Решение:
Расчеты производятся по формуле (6.2):
0,2667 Или 26.27% годовых.
Задача 3.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех месяцев. В начале периода в портфель инвестировали 110 млн. руб. Через три месяца его стоимость выросла до 130 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год на основе эффективного процента.
Решение:
Расчеты производятся по формуле (6.3):
или 65.06% годовых.
Задача 4.
Менеджер управлял портфелем в течение трех месяцев. В начале первого месяца в портфель инвестировали 20 млн. руб. В конце месяца его стоимость выросла до 23 млн. руб. В начале второго месяца из портфеля изъяли 4 млн. руб. В конце второго месяца его стоимость составляла 21 млн. руб. В начале третьего месяца в портфель внесли 5 млн. руб. В конце третьего месяца его стоимость составила 24 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год на основе: а) простого процента; б) эффективного процента.
Решение:
Доходность портфеля за три месяца:
или 17.33%
Годовая доходность портфеля на основе простого процента (формула 6.2):
или 69,32% годовых.
Годовая доходность портфеля на основе эффективного процента (формула 6.3):
или 81.51% годовых.
Задача 5.
В начале года стоимость портфеля равна 200000 руб. Через три месяца она выросла до 225000 руб., и из портфеля изъяли 20000 руб. Еще через четыре месяца стоимость портфеля выросла до 210000 руб., и в него добавили 32000 руб. В конце года стоимость портфеля составила 260000 руб. Определить доходность портфеля за год методом оценки стоимости единицы капитала.
Решение:
Пусть количество единиц капитала, входящих в портфель равно 1000. Тогда стоимость одной единицы капитала составляет:
руб.
Через три месяца стоимость портфеля выросла до 225000 руб. Поэтому стоимость единицы капитала в этот момент составила:
руб.
Из портфеля изъяли 20000 руб. По текущей стоимости единицы капитала данная сумма эквивалентна:
единицам капитала.
Поскольку из портфеля изымают 20000 руб., то в портфеле остается:
1000 – 88.89 = 911.11 единиц капитала.
Проверим, чему равна стоимость единицы капитала в портфеле после изъятия средств:
руб.
Таким образом, стоимость единицы капитала соответствует результату менеджера, полученному за первый период управления. Она не изменилась в результате изъятия 20000 руб. а изменилось лишь количество единиц капитала.
В конце второго периода стоимость портфеля составила 210000. Стоимость единицы капитала выросла до:
руб.
В портфель добавили 32000 руб. Эта сумма по текущей стоимости единицы капитала эквивалентна:
единицам капитала.
Поскольку в портфель добавляют 32000 руб., то портфель теперь состоит из:
911.11+138.84 = 1049.95 единиц капитала.
Проверим, чему равна стоимость единицы капитала в портфеле после добавления средств:
руб.
Стоимость единицы капитала соответствует результату менеджера, полученному за второй период управления. Как и в первом случае, она не изменилась в результате добавления 32000 руб., а лишь увеличилось количество единиц капитала в портфеле.
Стоимость единицы капитала в конце года составила:
руб.
За весь период управления портфелем, т.е. за год, стоимость единицы капитала выросла с 200 руб. до 247.63 руб. Следовательно, темп прироста стоимости единицы капитала составил:
или
23.82% годовых.
Таким образом, доходность портфеля равна 23.83% годовых.
Проверим полученный результат по формуле (6.5):
или 23.82% годовых.
Проверка подтвердила результат.
Задача 6.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 40 млн. руб. В конце года его стоимость возросла до 43 млн. руб. В начале второго года в портфель внесли дополнительно 5 млн. руб. В конце года его стоимость составила 55 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 7 млн. руб. В конце года его стоимость составила 52 млн. руб. В начале четвертого года в портфель добавили 4 млн. руб. В конце года его стоимость составила 60 млн. руб. Определить риск портфеля, измеренный выборочным стандартным отклонением.
Решение:
Доходность портфеля за первый год:
или 7.50% годовых.
Доходность портфеля за второй год:
или 14.58% годовых.
Доходность портфеля за третий год:
или 8.33% годовых.
Доходность портфеля за четвертый год:
или 7.14% годовых.
Средняя доходность портфеля:
.
Выборочная дисперсия доходности портфеля:
.
Стандартное отклонение доходности портфеля равно:
.
Задача 7.
В начале года в портфель инвестировали 160 млн. руб. Через три месяца его стоимость выросла до 165 млн. руб., и на следующий день в портфель внесли дополнительно 9 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 182 млн. руб., и в него внесли 6 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 195 млн. руб., и из него изъяли 5 млн. руб. В конце года стоимость портфеля составила 204 млн. руб. Определить риск портфеля, измеренный выборочным стандартным отклонением.
Решение:
Доходность портфеля за первый квартал (первые три месяца):
или 3.13% годовых.
Доходность портфеля за второй квартал:
или 4.60% годовых.
Доходность портфеля за третий квартала:
или 3.72% годовых.
Доходность портфеля за четвертый квартала:
или 7.37% годовых.
Средняя доходность портфеля:
.
Выборочная дисперсия доходности портфеля за квартал:
.
Стандартное отклонение доходности портфеля за квартал равно:
.
Стандартное отклонение доходности портфеля за год равно:
.
Задача 8.
Фактическая доходность портфеля А равна 25%, стандартное отклонение доходности 13%, доходность и стандартное отклонение доходности портфеля В соответственно равны 18% и 11%, ставка без риска 10% годовых. Определить с помощью коэффициента Шарпа, какой портфель управлялся эффективнее.
Решение:
Расчеты производятся по формуле (6.7):
.
Для портфеля А:
.
Для портфеля В:
.
Портфель А управлялся эффективнее.
Задача 9.
Фактическая доходность портфеля А равна 17%, бета портфеля относительно рыночного портфеля составляет 0,92, доходность и бета портфеля В соответственно равны 23% и 1.75, ставка без риска 7% годовых. Определить с помощью коэффициента Трейнора, какой портфель управлялся эффективнее.
Решение:
Расчеты производятся по формуле (6.8):
.
Для портфеля А:
.
Для портфеля В:
.
Портфель В управлялся эффективнее.
Задача 10.
В начале года в портфель инвестировали 40 млн. руб. Через три месяца его стоимость выросла до 43 млн. руб., и на следующий день в портфель внесли дополнительно 5 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 50 млн. руб., и в него внесли 4 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 57 млн. руб., и из него изъяли 3 млн. руб. В конце года стоимость портфеля составила 58 млн. руб. Ставка без риска равна 8% годовых. Определить коэффициент Шарпа портфеля (Указание: при решении задачи использовать выборочное стандартное отклонение).
Решение:
Доходность портфеля:
или 26,96% годовых.
Доходности за каждый квартал равны:
;
;
;
.
Средняя доходность за квартал:
.
Выборочное стандартное отклонение доходности портфеля за квартал:
или 1,39%.
Стандартное отклонение доходности портфеля за год:
%.
Коэффициент Шарпа:
.
Задача 11.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 12 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 14 млн. руб. В начале второго года в портфель внесли дополнительно 4 млн. руб. В конце года его стоимость составила 17 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 5 млн. руб. В конце года его стоимость составила 16 млн. руб. В начале четвертого года в портфель добавили 3 млн. руб. В конце года его стоимость составила 21 млн. руб. Ставка без риска в течение всего периода была равна 9% годовых.
Доходность рыночного портфеля за четыре года соответственно составила: первый год -14%, второй год - 11%, третий год – 8%, четвертый год – 9%.
Определить:
Коэффициенты Шарпа и Трейнора.
Нерыночный риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.
Решение:
Доходность портфеля вычислим по методу средней геометрической (формула (6.5)):
или 12,88 % годовых.
Доходности за каждый год равны:
;
;
;
.
Средняя доходность портфеля за год:
.
Выборочное стандартное отклонение доходности портфеля за квартал:
или 13.92%.
Коэффициент Шарпа равен:
.
Средняя доходность рыночного портфеля:
.
Выборочная дисперсия рыночного портфеля:
.
Ковариация доходностей портфеля с доходностями рыночного портфеля:
Бета портфеля:
.
Коэффициент Трейнора:
.
Нерыночный риск портфеля:
Задача 12.
В начале года менеджеру было предложено определить на основе их ожиданий ранги доходности акций десяти компаний для следующего года. Самой доходной акции присваивается первый ранг и так далее в порядке убывания ожидаемой доходности до десятого. Результаты представлены в таблице:
Компания |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ж |
З |
И |
К |
Прогнозируемый ранг |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
По итогам года фактические доходности акций составили:
Компания |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ж |
З |
И |
К |
Доходность, % |
12 |
20 |
30 |
25 |
15 |
16 |
7 |
-1 |
5 |
10 |
Определить коэффициент информированности менеджера.
Решение:
Для определения коэффициента информированности расположим акции компаний по рангам согласно их фактическим доходностям:
Компания |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ж |
З |
И |
К |
Доходность, % |
12 |
20 |
30 |
25 |
15 |
16 |
7 |
-1 |
5 |
10 |
Фактический ранг |
6 |
3 |
1 |
2 |
5 |
4 |
8 |
10 |
9 |
7 |
Среднее значение ранга:
.
Дисперсия рангов:
Стандартное отклонение рангов:
.
Ковариация рангов:
Коэффициент информированности:
.