2.2 Метод трапеций

Сущность интегрирования методом трапеций составляет кусочно- линейная аппроксимация подынтегральной функции. Соседние точки (x_i,y_i,) и (х_i+1, y_i+1), заданные таблицей в интервале а≤x≤b, соединяются прямыми. Если х₀=а, a х_n=b, то интеграл будет представлять собой сумму площадей n трапеций высотой h каждая.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла методом трапеций надо вычислить сумму значений подынтегральной функции в узлах интегрирования между а и b и умножить эту сумму на шаг интегрирования, К полученному значению прибавляется полусумма значений подынтегральной функции на концах отрезка, умноженная на шаг интегрирования. Совершенно очевидно, что чем меньше интервалы, через который задаётся значение функции, тем с большей точностью будет вычислен определённый интеграл.

2.3 Метод Симпсона (метод парабол)

Повысить точность результата вычисления определённого интеграла можно, если заменить линейную аппроксимацию, используемую в методе трапеций, кусочной аппроксимацией кривыми.

Для вычисления определённого интеграла методом Симпсона надо вычислить отдельно суммы значений подынтегральной функции в узлах интегрирования между а и b в чётных и нечётных точках. Сумма, полученная для нечётных точек, умножается на 4, а сумма для чётных точек - на 2. К полученным двум суммам прибавляется сумма значений подынтегральной функции на концах отрезка. Полученный итог умножается на 1/3 шага интегрирования.

Все вышеприведённые алгоритмы вычисления определённого интеграла используют заданный шаг интегрирования. Кроме этого, существуют итерационные алгоритмы, в которых вычисления выполняются до заданной точности ԑ результата. При каждой итерации количество узлов интегрирования n удваивается, а затем новый результат сравнивается с результатом, полученным на предыдущем шаге. Вычисления повторяются в цикле, пока разница между результатами не станет меньше ԑ.

Таблица 2.1 – Вид экрана MS Excel в режиме отображения формул

Таблица 2.2 – Вид экрана MS Excel в режиме отображения значений

3 СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ y’=

3.1 Метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(3.1)

с начальным условием . Подставив x₀,y₀ в уравнение (3.1), получим значение производной в точке x₀:

_(3.2)

При малом h имеет место:

_(3.3)

Обозначив , перепишем последнее равенство в виде:

(3.4)

Принимая теперь за новую исходную точку, точно также получим: _(3.5)

В общем случае будем иметь:

(3.6)

В этом и заключается метод Эйлера. Величина называется шагом интегрирования. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения у, так как производная на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной h. Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции у, тем большую, чем больше h. Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.

3.2 Модифицированный метод Эйлера

Модифицированный метод Эйлера является более точным. Его суть в том, что сначала по методу Эйлера вычисляется значение функции в следующей точке:

_(3.7)

которое используется для вычисления приближённого значения производной в конце интервала . Вычислив среднее между этим значением и её значением в начале интервала, найдём более точное значение y_i+1:

(3.8)

Для получения новой точки в нём требуется информация о двух других точках - предыдущей и промежуточной.