4.2.3. Риск портфеля, состоящего из двух активов

Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по формуле

или

(4.17)

Риск портфеля, состоящего из двух активов с корреляцией доходности +1

При корреляции +1 переменные находятся в прямой функциональной зависимости. Для такого случая формула (4.17) превращается в формулу квадрата суммы, так как Сorr _X,Y = 1

или

(4.18)

Таким образом, если доходности активов имеют корреляцию +1, то риск портфеля — это средневзвешенный риск входящих в него активов. Объединение таких активов в один портфель не позволяет воспользоваться возможностями диверсификации для снижения риска, поскольку при изменении конъюнктуры их доходности будут изменяться в прямой зависимости в одном и том же направлении. В этом случае диверсификация не приводит к сокращению риска, а только усредняет его. Уменьшить риск можно только одновременно с сокращением ожидаемой доходности, т.е. подбирая в портфель менее рискованные бумаги. Сочетая в портфеле активы X и Y в различных пропорциях инвестор имеет возможность с точки зрения риска и доходности сформировать любой портфель, который бут лежать на прямой XY (см. рис. 4.2).

Рис. 4.2. Варианты портфелей, состоящих из двух активов с корреляций доходностей +1

Риск портфеля, состоящего из двух активов с корреляцией доходности -1

При корреляции -1 переменные находятся в обратной функциональной зависимости. Для такого случая формула (4.17) превращается в формулу квадрата разности:

или

. (4.19)

Объединение в портфель активов с корреляцией -1 позволяет уменьшить его риск по сравнению с риском каждого отдельного актива, поскольку, при изменении конъюнктуры разнонаправленные движения доходности активов X и Y будут гасить друг друга. При этом ожидаемая доходность портфеля останется неизменной и будет зависеть от ожидаемой доходности каждого актива и его удельного веса в портфеле. Сочетая в портфеле активы X и Y в различных пропорциях, инвестор имеет возможность, с точки зрения риска и доходности, сформировать любой портфель, который будет лежать на прямых ZX и ZY, как показано на рис. 4.3. В точке Z портфель инвестора не будет иметь риска (будет безрисковым). Чтобы сформировать такой портфель, необходимо найти соответствующие удельные веса активов X и Y. Для этого приравняем уравнение (4.19) к нулю и определим θ_X и θ_Y:

Поскольку

,

то

Отсюда:

;

.

Рис. 4.3. Варианты портфелей, состоящих из двух активов с корреляций доходностей -1

Риск портфеля, состоящего из двух активов с некоррелируемыми доходностями

При нулевой корреляции между доходностями активов формула (4.17) принимает вид:

.

Соответственно стандартное отклонение равно:

. (4.20)

Как следует из формулы (4.20), объединение в портфель активов с некоррелируемыми доходностями позволяет воспользоваться диверсификацией для снижения риска.

Риск портфеля, состоящего из двух активов с минимальной дисперсией

Найдем удельные веса для портфеля с минимальной дисперсией. В таком портфеле . Учитывая это, выразим равенство (4.17) через удельный вес θ_Y :

.

Продифференцируем полученное выражение по θ_Y:

.

Раскроем скобки и приравняем производную к нулю, чтобы найти минимум функции:

Отсюда:

. (4.21)

Чтобы лучше представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из двух бумаг. Общие выводы, которые можно сделать по результатам вышесказанного состоит в следующем:

1) если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, достигается только усреднение, а не уменьшение риска;

2) при объединении в портфель активов с корреляцией меньше, чем +1, его риск уменьшается; чем меньше корреляция доходностей активов, тем меньше риск портфеля; уменьшение риска достигается при сохранении неизменного уровня ожидаемой доходности портфеля;

3) если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, можно сформировать портфель без риска;

4) при формировании портфеля необходимо объединять в него активы с наименьшей корреляцией.

Основоположником современной теории портфеля является Г. Марковиц. Именно он предложил объединять активы с наименьшей корреляцией, чтобы снизить риск портфеля. Согласно Марковицу, чем меньше корреляция доходностей бумаг в портфеле, тем больше степень его диверсификации. Следует отметить, что диверсификация позволяет снизить риск портфеля для обычной конъюнктуры рынка. В условиях финансовых крахов сложившиеся корреляции между доходностями активов нарушаются, и динамика их доходностей будет такова, как если бы они имели корреляцию +1.