IX. Сигнали

9.1. Класифікація сигналів

Під сигналом розуміють любий фізичний носій повідомлення. Якщо носієм є електрична напруга або струм, сигнал називають електричним, якщо магнітна хвиля - радіосигналом. Зупинимось на найбільш важливих класифікаційних принципах.

За значенням в передачі інформації сигнали можна поділити на корисні і перешкоджаючі (перешкоди). Перешкоди спотворюють інформацію, яка переноситься корисним сигналом, хоч в той же час можуть бути носіями іншої інформації.

Сигнал називають детермінованим, якщо заданий його опис у вигляді функції часу S=S(t).

Якщо ж неможливо наперед передбачити значення сигналу в любий момент часу, він називається випадковим. При цьому залежність S=S(t) невідома, але можуть бути відомі деякі ймовірні характеристики сигналу. Серед детермінованих сигналів виділяють періодичні, для яких виконується умова

S(t)=S(t+mT)

де Т - період повторення; m=1,2,3,…

Сигнали можуть бути неперервними, тобто приймати любі значення в заданому інтервалі амплітуд, і дискретними, які приймають тільки визначене, наперед задане значення.

Часто зручніше представити складний сигнал у вигляді суми декілька (або навіть багатьох) аналітично однотипних сигналів S_і(t):

S(t)= _іS_і(t) (9.1)

тут a_i- сталі коефіцієнти і розглядаються окремо до кожної складової цього складного сигналу. Набір функції S_і(t), що використовуються в (9.1) називаються ортогональним, якщо в інтервалі від t=a до t=b

для всіх і k,

або ортонормованім, якщо крім цього виконується умова:

для всіх і=k.

Ортогональність базису - гарантія того, що S(t), виду (9.1) може бути представлений єдиним способом.

Коли сигнал S(t) не може бути поданий сумою виду (9.1) переходять, якщо це можливо, до сумування безмежного числа безмежно малих доданків, тобто до інтегралу.

9.2. Спектри сигналів

Періодичний сигнал S(t)=S(t+mT) з частотою повторень f₁=1/Т і кутовою швидкістю ₁=2 f₁=2 /T може бути поданий у вигляді ряду Фурьє

(9.2)

де а₀/2 - середнє значення за період, або стала складова сигналу; коефіцієнти а_n i b_n називаються відповідно амплітудами косинусоїдальних і синусоїдальних складових.

Вираз (9.2) є сумою косинусоїд і синусоїд з частотами n ₁, що еквівалентно сумі тільки синусоїд або косинусоїд, але з різними фазами, наприклад:

S(t) = а₀/2+ А_ncos(n ₁t- _n) (9.3)

Модуль амплітуди А_n і фаза _n кожної гармоніки визначається для даного виразу:

А_n= ;

_n=acrtq .

Сукупність значень А_n і _n називаються спектром функції S(t). Згідно (9.3) спектр періодичного сигналу є лінійчатим, або дискретним, що складається з окремих ліній (гармонік) які відповідають частотам ₁, ₂, ₃,... (рис.9.1) Для повної характеристики сигналу необхідно знати фазу кожної гармоніки ( _n). Обчислення коефіцієнтів і велика кількість інших математичних процедур спрощується при використанні ряду Фур’є:

S (t)=

Коефіцієнти C_n називаються комплексними амплітудами і рівні

Cn= S(t) dt.

П

Рис. 9.1. Спектральна діаграма

ерехід від комплексної форми до тригонометричної проводять за допомогою формул Ейлера

e^jz=cos z + jsin z; e^-jz=cos z-jsin z;

cos z= ; sin z= ;

Неперіодичний сигнал S(t) може бути поданий у вигляді гармонічних складових, частоти яких не є дискретними, а пробігають неперервну сукупність значень. Ця задача розв`язується за допомогою інтегральних перетворень Фур’є. Спектр сигналу може бути знайдений з відношення

( )= S(t) e^{-j t} d .

Тут ( ) називається спектральною густиною сигналу, або спектральною характеристикою функції S(t).

Зворотне перетворення Фур’є дозволяє перейти від спектральної густини до форми сигналу:

S(t)= ( ) e ^{j t} d .

Таким чином, за допомогою перетворень Фур’є сигнали любої форми можуть бути представлені у вигляді сукупності гармонічних складових з відомими амплітудами і фазами, а сам гармонічний сигнал стає ніби елементарним пробним сигналом при аналізі кіл. Причому математичні перетворення суттєво спрощуються, якщо гармонічний сигнал, наприклад напругу u=U_mcos( t+ ) представити в комплексній формі U_me^{j t}.

На рис. 9.2, 9.3 подані спектри деяких найбільш поширених сигналів. Сигнал виду меандр (періодична послідовність коливань прямокутної форми) і його амплітудний спектр.

Рис. 9.2. Послідовність прямокутних імпульсів напруги

Рис. 9.3 Спектр послідовності прямокутних імпульсів

Теорема Котельникова. Якщо у спектрі сигналу нема складових з частотою, які вищі f_m, то така частота називається граничною частотою у спектрі S(t) і спектральна густина при частотах вищих f_m рівна нулю. Один з варіантів подання таких сигналів представлений у вигляді розкладання S(t) за функціями (sin)/x, або ще її позначають sincx

Розкладання такого типу отримало широке використання після того, як в 1933 році В.А.Котельниковим була доведена теорема, яка носить його ім`я.

Теорема: Якщо найвища частота у спектрі функції S(t) менша за f_m, то функція S(t) повністю визначається послідовністю своїх миттєвих значень через інтервали часу, що не перевищують t=1/(2f_m).

Сигнал S(t) може бути точно відновлений згідно виразу, який називається рядом Котельникова:

S(t) = .

На практиці відліки миттєвих значень сигналу можуть бути зроблені лиш в інтервалі спостереження (n t, m t), де n i m цілі числа. У відповідності до цього сигнал відновлюється не за рядом Котельникова, а з деякою похибкою

S*(t) = . (9.4)

Всі реальні радіоелектронні пристрої мають обмежену полосу пропускання, тому визначення частоти f_m не є важким завданням. Згідно теореми Котельникова в більшості випадків можна реєструвати тільки миттєві значення сигналу і в подальшому відновлювати цей сигнал повністю з наперед відомою похибкою.

Представлення неперервного сигналу рядом виду (9.4) - один з методів дискретизації сигналу.

Отримані в результаті дискретизації миттєві значення сигналу можуть бути любими в діапазоні S_min до S_max і відносяться до неперервної множини значень. Перехід від цієї множини до нескінченого набору дискретних значень називається квантуванням. При квантуванні в діапазоні S_min - S_max фіксується ряд дискретних рівнів S_m. Найбільш широко розповсюджені пристрої квантування з однаковими відстанями між сусідніми рівнями.