1.5. Нелінійні і параметричні кола

Коло, яке містить один або більше нелінійних елементів, вважається нелінійним. Всяке реальне коло є нелінійним. Так, внаслідок нагріву під дією струму змінюються активний опір резистивних елементів, відстань між обкладинками конденсаторів і їх ємність, взаємне положення витків котушок і їх індуктивність. На індуктивність котушок з осердям впливає магнітна проникність речовини осердя, яка залежить від струму у витках котушки. Типовими нелінійними елементами є напівпровідникові прилади.

П араметрами нелінійних елементів є нелінійний опір r(i), нелінійна індуктивність L(і), нелінійна ємність С(u) або C(Q). Співвідношення між струмами і напругами в колах з нелінійними елементами описуються нелінійними алгебраїчними або диференціальними рівняннями.

С

Рис. 8.10. Вольт-амперна характеристика нелінійного елементу

кладні залежності між електричними величинами, що відносяться до нелінійних елементів виражають переважно графічно. Для резистивних елементів, до яких можна віднести напівпровідникові діоди, транзистори, - взаємопов'язаними є напруга і струм. Ці залежності подають вольт-амперними характеристиками (рис. 8.10).

При використанні нелінійного елемента доводиться визначати струм і, що проходить в ньому під впливом прикладеної напруги, і його зміна і внаслідок відхилення цієї напруги від первинного значення на величину u. Співвідношення між напругою u і струмом i відображає статичний опір (опір постійному струму) нелінійного елемента: r_ст=u/i. Для відображення взаємозв'язку змін напруги u і струму і вводиться параметр, званий диференціальним опором (опором змінному струму): r_диф=u/і. Прирости напруги u і струму і повинні бути малими, щоб в інтервалі цих змін ділянку вольт-амперної характеристики можна було вважати прямим відрізком. При переході до нескінченно малих r_диф=du/di. Значення r_диф залежить від вибору значень u₁ i u₂, по яких визначається зміна напруги u=u₂-u₁ тобто положення робочої точки за характеристикою. За вольт-амперною характеристикою статичний опір визначається як котангенс кута , утвореного січною, проведеною з початку координат у вибрану (робочу) точку А характеристики, і віссю напруги з урахуванням масштабу

де m_u - масштаб по осі напруги; m_i - масштаб по осі струму; т_r - масштаб для опору.

Диференціальний опір дорівнює котангенсу кута , утвореного дотичною до характеристики в точці А і віссю напруги: На ділянках, де вольт-амперна характеристика є спадною, диференціальний опір негативний.

Розрахунок нелінійних кіл простої конфігурації здійснюють графічними методами. Застосовуються методи еквівалентних характеристик і перетину.

Розглянемо побудову еквівалентної характеристики для послідовного з'єднання нелінійного резистивного елемента R_нл і резистора постійного опору R₀ (рис. 8.11, а). Вольт-амперні характеристики елементів відомі (рис. 8.11, б). Для струму заданої величини і_з за характеристиками визначаємо напругу u₁ на нелінійному елементі R_нл і напругу u₂ - на лінійному елементі R₀. Прикладена до кола напруга u_з=u₁+u₂. Тому заданому струму і_з і знайденій напрузі u_з, ставиться у відповідність точка, яка є точкою шуканої еквівалентної характеристики (R_екв). Після знаходження положень ряду таких точок їх з'єднують і отримують нову характеристику, що відображає взаємозв'язок між напругою u і струмом i.

Рис. 8.11. Послідовне з'єднання лінійного і нелінійного елементів:

а - схема кола; б - вольт-амперні характеристики елементів: в - побудова навантажувальної характеристики

Значення струму i_y в колі при заданій напрузі u_з методом перетинів визначають з наступних міркувань. Оскільки u_з=u₁+u₂ і u₂=i₃R₀, u₁=u₃-i_yR₀. Графік залежності i = f(u) для нелінійного елемента R_нл відомий (рис. 8.11, в). По заданих значеннях u і R₀ будують пряму залежності u₁=u₃-iR₀. Графіки перетинаються в точці А. Положення цієї точки визначає те значення струму i_y в колі, при якому виконується рівність u₁+u₂=u_з.

Графічні методи розрахунку можуть бути застосовані і у разі паралельного і змішаного з'єднань нелінійних і лінійних елементів.

Для аналізу нелінійних кіл використовують також аналітичні методи розрахунку. Вони засновані на апроксимації вольт-амперних характеристик за допомогою функцій, які з достатньою для розрахунків точністю відображають відповідну залежність. Одним з способів апроксимації є лінеаризація характеристик. Її суть в заміні дільниці характеристики, що відображає нелінійну залежність між величинами, прямим відрізком. Стосовно до вольт-амперної характеристики (рис. 8.12, а) можлива лінеаризація при змінах напруги в межах від u₁=0 до u₂. Лінійна дільниця характеристики може бути описана співвідношенням i=I₀+Su, де S=di/du - крутизна характеристики на лінійній дільниці. Велика кількість розрахунків спрощуються при заміні характеристики нелінійного елемента відрізками прямої лінії - кусково-лінійної апроксимації (рис. 8.12, б).

Враховуючи апроксимацію взаємозв'язок між напругами і струмами можна виразити співвідношеннями:

і=0 при u<u₁;

i=I₀₁+S₁(u-u₁) при u₁<u<u₂;

i=I₀₂+S₂(u-u₃) при u₂<u<u₃,

де S₁, S₂ крутизна характеристики на певній її дільниці.

Рис. 8 12. Апроксимації вольт-амперних характеристик:

а - лінеаризація характеристики; б - кусково-лінійна апроксимація

Часто застосовується апроксимація характеристик поліномами п-го ступеня: i=I₀+a(u-U₀)+b(u-U₀)²+c(u-U₀)³+… Значення коефіцієнтів а, b, c,... встановлюються за результатами аналізу графіка. Поліном ступеня вище п'ятого не застосовується через складності у визначенні його коефіцієнтів. У ряді випадків використовують неповний поліном третього ступеня виду i=I₀+au+cu³, а для опису невеликих ділянок характеристик - поліном другого ступеня. Проводять також апроксимацію характеристик тригонометричними функціями, наприклад, у вигляді співвідношення i=I₀(1+tgmu), або показниковими виду …

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Які елементи кола називають лінійними, нелінійними, параметричними?

2. Чому при розрахунку електричних кіл доводиться враховувати неосновні параметри елементів?

3. Розрахуйте: а) повний опір котушки на частотах 10, 100, 1000 МГц, якщо індуктивність її становить 20 мкГн, а міжвиткова ємність рівна 1 пФ; б) повний опір конденсатора на частотах 10, 100, 1000 кГц при ємності 100 пФ і опорі діелектрика 0,1ГОм. Побудуйте векторні діаграми напруги і струму в його колі при цих частотах. Визначте кут δ=90⁰-φ, де (φ - кут зсуву фаз між струмом в колі конденсатора і підведеною до нього напругою. Знайдіть значення tg δ.

4. Побудуйте графіки змін напруги на конденсаторі.

5. Які кола називають чотириполюсниками? Якими параметрами характеризуються чотириполюсники?

6. Поясніть принцип визначення графічним методом струму в колах: а) з послідовним з’єднанням резистора і нелінійного елементу; б) з паралельним з’єднанням резистора і нелінійного елементу.