Лекция: Элементарное введение

Общие замечания

Что такое TeX и LaTeX

TeX (произносится "тех", пишется также "TeX") - это созданная американским математиком и программистом Дональдом Кнутом (Donald E. Knuth)- система для верстки текстов с формулами. Сам по себе TеX представляет собой специализированный язык программирования (Кнут не только придумал язык, но и написал для него транслятор, причем таким образом, что он работает совершенно одинаково на самых разных компьютерах), на котором пишутся издательские системы, используемые на практике. Точнее говоря, каждая издательская система на базе ТеХ-а представляет собой пакет макроопределений (макропакет) этого языка. В частности, LaTeX (произносится "латех" или "лэйтех", пишется также "LaTeX") - это созданная Лесли Лэмпортом (Leslie Lamport) издательская система на базе TeX-а.

Достоинства и недостатки

Все издательские системы на базе TeX'а обладают достоинствами, заложенными в самом TeX'е. Для новичка их можно описать одной фразой: напечатанный текст выглядит "совсем как в книге". LaTeX как издательская система предоставляет удобные и гибкие средства достичь этого полиграфического качества. В частности, указав с помощью простых средств логическую структуру текста, автор может не вникать в детали оформления, причем эти детали при необходимости нетрудно изменить (чтобы, скажем, сменить шрифт, которым печатаются заголовки, не надо шарить по всему тексту, а достаточно заменить одну строчку в так называемом " стилевом файле"). Такие вещи, как нумерация разделов, ссылки, оглавление и т.п. получаются почти что "сами собой".

Огромным достоинством систем на базе TeX'а является высокое качество и гибкость верстки абзацев и математических формул (в этом отношении TeX до сих пор не превзойден).

Программа TeX (и все издательские системы на ее базе) неприхотлива к технике.

С другой стороны, TeX'овские файлы обладают высокой степенью переносимости: вы можете подготовить LaTeX'овский исходный текст на своей IBM PC, переслать его (скажем, по электронной почте) в издательство, и надеяться, что там ваш текст будет правильно обработан и на печати получится в точности то же, что получилось у вас при пробной печати на вашем любимом принтере (с той единственной разницей, что фотонаборный автомат даст отпечаток более высокого качества). Благодаря этому обстоятельству TEX стал очень популярен как язык международного обмена статьями по математике и физике.

Есть у TeX'а и недостатки. Тем, кто привык к редакторам наподобие Word'а, может не понравиться, что TeX не является системой типа WYSIWYG: работа с исходным текстом и просмотр того, как текст будет выглядеть на печати, — разные операции. На взгляд автора, благодаря этой особенности время на подготовку текста типографского качества только сокращается, но представления об удобстве у всех разные.

Основные понятия

Исходный файл

Исходный файл для системы LaTeX представляет собой собственно текст документа вместе со спецсимволами и командами, с помощью которых системе передаются указания касательно размещения текста. Этот файл можно создать любым текстовым редактором, но при этом необходимо, чтобы в итоге получился так называемый "чистый" текстовый файл. Это означает, что текст не должен содержать шрифтовых выделений, разбивки на страницы и т.п.

Исходный текст документа не должен содержать переносов (TeX сделает их сам). Слова отделяются друг от друга пробелами, при этом TEX не различает, сколько именно пробелов вы оставили между словами (чтобы вручную управлять пробелами, есть специальные команды, о которых пойдет речь позже). Конец строки также воспринимается как пробел. Соседние абзацы должны быть отделены друг от друга пустыми строками (опять-таки все равно, сколько именно пустых строк стоит между абзацами, важно, чтоб была хоть одна).

В правой колонке приведен фрагмент исходного текста, а в левой - то, как он будет выглядеть на печати после обработки системой LaTeX.

Как мог заметить читатель, форматировать исходный текст не обязательно.

Предупреждение: мы используем русские буквы в наших примерах, хотя стандартный LaTeX (без специальной "русификации") их не понимает, и, строго говоря, следовало бы использовать латинские буквы. Подробнее об этом написано в приложении E.

Спецсимволы

Большинство символов в исходном тексте прямо обозначает то, что будет напечатано (если в исходном тексте стоит запятая, то и на печати выйдет запятая). Следующие 10 символов:

{}, $, &, #, %, _, ",^, \

имеют особый статус; если вы употребите их в тексте " просто так", то скорее всего получите сообщение об ошибке (и на печати не увидите того, что хотелось). Печатное изображение знаков, соответствующих первым семи из них, можно получить, если в исходном тексте поставить перед соответствующим символом без пробела знак "\" (по-английски он называется "backslash"):

Если символ "%" употреблен в тексте не в составе комбинации "\%", то он является "символом комментария": все символы, расположенные в строке после него (и сам "%"), TEX игнорирует. С помощью символа "%" в исходный текст можно вносить пометки "для себя":

Обратите внимание на предпоследнюю строку: после знака процента игнорируется вся строка, включая ее конец, который в нормальных условиях играет роль пробела; с другой стороны, начальные пробелы в строке игнорируются всегда. Поэтому TeX не видит пробела между кусками слов "сере" и "нький", и они благополучно складываются в слово "серенький".

Скажем вкратце о смысле остальных спецсимволов. Фигурные скобки ограничивают группы в исходном файле. Знак доллара ограничивает математические формулы. При наборе математических же формул используются знаки "_" и "^" (" знак подчеркивания" и " крышка"). Знак "" обозначает "неразрывный пробел" между словами. Со знака "\" начинаются все TeX'овские команды. Знаки "#" и "&" используются в более сложных конструкциях TeX'а.

Отметим еще, что символы "< > |" в тексте употреблять можно в том смысле, что сообщения об ошибке это не вызовет, но напечатается при этом нечто, совсем на эти символы не похожее. Подлинное место для этих символов, так же как и для символов "=" и "+", — математические формулы, о которых речь пойдет позже.

Команды и их задание в тексте

Задание печатного знака процента с помощью последовательности символов "\%" — пример важнейшего понятия TeX'а, называемого командой. С точки зрения их записи в исходном тексте, команды делятся на два типа. Первый тип — команды, состоящие из знака "\" и одного символа после него, не являющегося буквой. Именно к этому типу относятся команды "\{", "\}",\ldots, "\%", о которых шла речь выше.

Команды второго типа состоят из "\" и последовательности букв, называемой именем команды (имя может состоять и из одной буквы). Например, команды \TeX, \LaTeX и \LaTeXe генерируют эмблемы систем TeX, LaTeX и LaTeX . В имени команды, а также между "\" и именем, не должно быть пробелов; имя команды нельзя разрывать при переносе на другую строку.

В именах команд прописные и строчные буквы различаются. Например, \large, \Large и \LARGE — это три разные команды (как вы в дальнейшем узнаете, они задают различные размеры шрифта).

После команды первого типа (из "\" и не-буквы) пробел в исходном тексте ставится или не ставится в зависимости от того, что вы хотите получить на печати:

После команды из "\" и букв в исходном тексте обязательно должен стоять либо пробел, либо символ, не являющийся буквой (это необходимо, чтобы TeX смог определить, где кончается имя команды и начинается дальнейший текст). Вот примеры с командой \slshape (она переключает шрифт на наклонный):

Если бы мы написали \slshapeand a partridge..., то при трансляции TEX зафиксировал бы ошибку (типичную для начинающих) и выдал сообщение о том, что команда \slshapeand не определена.

С другой стороны, если после команды из "\" и букв в исходном тексте следуют пробелы, то при трансляции они игнорируются. Если необходимо, чтобы TeX все-таки "увидел" пробел после команды в исходном тексте (например, чтобы сгенерированное с помощью команды слово не сливалось с последующим текстом), надо этот пробел специально организовать. Один из возможных способов — поставить после команды пару из открывающей и закрывающей фигурных скобок "{}" (так что TEX будет знать, что имя команды кончилось), и уже после них сделать пробел, если нужно.

Структура исходного текста

LaTeX-файл должен начинаться с команды

\documentclass

задающей стиль оформления документа (в LaTeX'е принято говорить "класс документа".¹⁾

Пример:

\documentclass{book}

Слово {book} в фигурных скобках указывает, что документ будет оформлен, как книга: все главы будут начинаться с нечетных страниц, текст будет снабжен колонтитулами некоторого определенного вида и т.п. Кроме класса book, в стандартный комплект LaTeX'а входят классы article (для оформления статей), report (нечто среднее между article и book, proc (для оформления изданий типа " труды конференции") и letter (для оформления деловых писем так, как это принято в США). Чтобы задать оформление документа с помощью одного из этих классов, надо в фигурных скобках после команды \documentclass указать вместо {book} название требуемого класса. Стандартные классы можно (а иногда и нужно) менять.

После команды \documentclass могут следовать команды, относящиеся ко всему документу и устанавливающие различные параметры оформления текста, например, величину абзацного отступа (вообще-то все эти параметры определяются используемым классом, но может случиться, что вам понадобится сделать в них изменения). Далее должна идти команда \begin

\begin{document}

Только после этой команды может идти собственно текст. Если вы поместите текст или какую-нибудь команду, генерирующую текст (например, \LaTeX до \begin{document}, то LaTeX выдаст сообщение об ошибке. Часть файла, расположенная между командами \documentclass и \begin{document}, называется преамбулой.

Заканчиваться файл должен командой

\end{document}

Если после \end{document} в файле написано что-то еще, LaTeX это проигнорирует.

Следующий пример показывает LaTeX-файл, составленный по всем правилам. Ничего интересного в результате его обработки не напечатается.

\documentclass{article}

\begin{document}

Проба пера.

\end{document}

Группы

Важным понятием TeX'а является понятие группы. Чтобы понять, что это такое, рассмотрим пример.

При обработке TeX'ом исходного файла набор текста в каждый момент идет каким-то вполне определенным шрифтом (он называется текущим шрифтом). Изначально текущим шрифтом является " обычный" прямой шрифт (по-английски "roman"). Команда\slshape, с которой мы уже столкнулись в разд. "Команды и их задание в тексте", переключает текущий шрифт на наклонный, а upshape выполняет обратное переключение. Аналогичным образом команды bfseries и mdseries меняют жирность шрифта²⁾.

В этом примере можно обойтись и без команд mdseries и upshape (отменяющих действие предыдущих команд). Для этого часть текста, которую вы хотите оформить полужирным или наклонным шрифтом, можно заключить в фигурные скобки, и дать команду bfseries или slshape внутри этих скобок! Тогда сразу же после закрывающей фигурной скобки TeX "забудет" про то, что шрифт переключался, и будет продолжать набор тем шрифтом, который был до скобок:

Сами по себе фигурные скобки не генерируют никакого текста и не влияют на шрифт; единственное, что они делают — это ограничивают группу внутри файла. Как правило, задаваемые командами TeX'а изменения различных параметров (в нашем случае — текущего шрифта) действуют в пределах той группы, внутри которой была дана соответствующая команда; по окончании группы (после закрывающей фигурной скобки, соответствующей той фигурной скобке, что открывала группу) все эти изменения забываются и восстанавливается тот режим, который был до начала группы. Проиллюстрируем все сказанное следующим примером, в котором используется еще команда itshape (она переключает шрифт на курсивный):

Как видите, группы могут быть вложены друг в дружку. Обратите внимание, что внутри внешней группы курсив начался не c того места, где была открывающая скобка, а только после команды itshape (именно команда, а не скобка, переключает шрифт).

Фигурные скобки в исходном тексте должны быть сбалансированы³⁾: каждой открывающей скобке должна соответствовать закрывающая. Если вы почему-либо не соблюли это условие, при трансляции вы получите сообщение об ошибке.

Команды с аргументами

Команды наподобие LaTeX или, скажем, bfseries действуют " сами по себе"; многим командам, однако, необходимо задать аргументы. Первый пример тому дает команда documentclass: слово, указываемое в фигурных скобках, — ее аргумент; если его не указать, то произойдет ошибка. В LaTeX'е аргументы команд бывают обязательные и необязательные. Обязательные аргументы задаются в фигурных скобках если для команды предусмотрено наличие обязательных аргументов, она без них правильно работать не будет. У многих команд предусмотрены также и необязательные аргументы: они влияют на работу команды, коль скоро они указаны, но их отсутствие не ведет к сообщению об ошибке. Необязательные аргументы задаются в квадратных скобках.

В частности, у команды documentclass предусмотрен обязательный аргумент, о котором уже шла речь, и необязательный: в квадратных скобках перед обязательным аргументом можно указать список (через запятую) так называемых классовых опций, т.е. дополнительных особенностей оформления. Например, если мы хотим, чтобы книга набиралась шрифтом кегля 12 вместо кегля 10, принятого по умолчанию⁴⁾ , и притом в две колонки, мы должны начать файл командой

\documentclass[12pt,twocolumn]{book}

Есть также классовая опция 11pt, означающая, что текст будет набираться кеглем 11.

Наряду с классовыми опциями в LaTeX'е используются и так называемые стилевые пакеты. После команды \documentclass, начинающей файл, может следовать команда \usepackage, в аргументе которой стоит (через запятую) список подключаемых этой командой стилевых пакетов. (Можно использовать и несколько команд usepackage.) Например, первые две строки файла могут быть такими:

\documentclass[12pt,twocolumn]{book}

\usepackage{amsfonts,longtable}

Здесь пакет amsfonts подключается, чтобы использовать в математических формулах дополнительные шрифты, позволяющие напечатать что-нибудь вроде , а пакет longtable нужен, чтобы иметь возможность набирать таблицы, простирающиеся на несколько страниц.

Окружения

Еще одна важная конструкция LaTeX'а - это окружение(environment)

Окружение - это фрагмент файла, начинающийся с текста

\begin{"TeXtit{имя\_окружения} "}

где TeXtit{имя\_окружения} представляет собой первый обязательный (и, возможно, не единственный) аргумент команды \begin. Заканчивается окружение командой

\end{"TeXtit{имя\_окружения} "}

(команда \end имеет только один аргумент - имя завершаемого ею окружения). Например:

Каждой команде \begin, открывающей окружение, должна соответствовать закрывающая его команда \end (с тем же именем окружения в качестве аргумента).

Важным свойством окружений является то, что они действуют и как фигурные скобки: часть файла, находящаяся внутри окружения, образует группу. Например, внутри окружения center в вышеприведенном примере можно было бы сменить шрифт, скажем, командой \itshape, и при этом после команды \end{center} восстановился бы тот шрифт, что был перед окружением.

Звездочка после имени команды

В LaTeX'е некоторые команды и окружения имеют варианты, в которых непосредственно после имени команды или окружения ставится звездочка "*". Например, команда \section означает "начать новый раздел документа", а команда \section* означает "начать новый раздел документа, не нумеруя его".

Параметры

Наряду с текущим шрифтом, о котором уже шла речь, TeX в каждый момент обработки исходного текста учитывает значения различных параметров, таких, как величина абзацного отступа, ширина и высота страницы, расстояние по вертикали между соседними абзацами, а также великое множество других важных вещей.

Параметры TeX'а обозначаются аналогично командам: с помощью символа "\" (" backslash"), за которым следует либо последовательность букв, либо одна не-буква. Например, \parindent обозначает в TeX'е величину абзацного отступа; если нам понадобилось, чтобы абзацный отступ равнялся двум сантиметрам, можно написать так:

\parindent=2cm

(Это изменение распространяется лишь на текущую группу: после конца группы восстановится старое значение отступа.)

Единицы длины

Многие параметры, используемые TeX'ом, являются размерами (в табл.1.1 собраны единицы длины (кроме нескольких экзотических), которые можно использовать в TeX'е при задании размеров.

Набор формул в простейших случаях

Основные принципы

В документе, подготовленном с помощью TeX'а, различают математические формулы внутри текста и " выключные" (выделенные в отдельную строку). Формулы внутри текста окружаются знаками $ (с обеих сторон). Выключные формулы окружаются парами знаков доллара $$ с обеих сторон. Формулами считаются как целые формулы, так и отдельные цифры или буквы, в том числе греческие, а также верхние и нижние индексы и спецзнаки. Пробелы внутри исходного текста, задающего формулу, игнорируются (но по-прежнему надо ставить пробелы, обозначающие конец команды): TeX расставляет пробелы в математических формулах автоматически (например, знак равенства окружается небольшими пробелами). Пустые строки внутри текста, задающего формулу, не разрешаются. Если нужен пробел до или после внутритекстовой формулы, надо оставить его вне долларов. То же самое относится и к знакам препинания, следующим за внутритекстовой формулой: их также надо ставить после закрывающего формулу знака доллара. (В выключных формулах приходится указывать знаки препинания внутри долларов, иначе эти знаки попадут на следующую строку.) Каждая буква в формуле рассматривается как имя переменной и набирается шрифтом " математический курсив" (в отличие от обычного курсива, в нем увеличены расстояния между соседними буквами).

Часть файла, составляющая математическую формулу, образует группу: изменения параметров, произведенные внутри формулы, забываются по ее окончании.

Степени и индексы

Степени и индексы набираются с помощью знаков "^" и "_" соответственно.

Если индекс или показатель степени - выражение, состоящее более чем из одного символа, то его надо взять в фигурные скобки:

Если у одной буквы есть как верхние, так и нижние индексы, то можно указать их в произвольном порядке:

Если же требуется, чтобы верхние и нижние индексы располагались не друг под другом, а на разных расстояниях от выражения, к которому они относятся, то нужно немного обмануть TeX, оформив часть индексов как индексы к "пустой формуле" (паре из открывающей и закрывающей скобок):

Если вы хотите написать формулу, читающуюся как "два в степени, равной икс в кубе", то запись "2^x^3" вызовет сообщение об ошибке; правильно будет "2^{x^3}" (на печати это будет выглядеть как ).

Дроби

Дроби, обозначаемые косой чертой (так рекомендуется обозначать дроби во внутритекстовых формулах), набираются непосредственно:

В этом примере мы еще использовали знаки "строгих" неравенств (в TeX'овских формулах они набираются непосредственно, как знаки ">" и "<") и нестрогих неравенств (знак "больше или равно" генерируется командой \ge, "меньше или равно" — командой \le).

Если вы используете в формуле десятичные дроби, в которых дробная часть отделена от целой с помощью запятой, то эту запятую следует взять в фигурные скобки (в противном случае после нее будет оставлен небольшой дополнительный пробел, что нежелательно):

Здесь команда \pi порождает греческую букву , а команда /approx дает знак (" приближенно равно"). Десятичную точку в дробях заключать в скобки не нужно.

Дроби, в которых числитель расположен над знаменателем, набираются с помощью команды \frac).Эта команда имеет два обязательных аргумента: первый - числитель, второй - знаменатель.

Пример:

Если числитель и\или знаменатель дроби записываются одной буквой (в том числе греческой) или цифрой, то можно их и не брать в фигурные скобки:

Скобки

Круглые и квадратные скобки набираются как обычно, для фигурных скобок используются команды \{ и \},для других также есть специальные команды (см. следующую лекцию).

Команда \left перед открывающей скобкой в совокупности с командой \right перед соответствующей ей закрывающей скобкой позволяет автоматически выбрать нужный размер скобки:

115

Корни

Квадратный корень набирается с помощью команды \sqrt , обязательным аргументом которой является подкоренное выражение; корень произвольной степени набирается с помощью той же команды \sqrt с необязательным аргументом — показателем корня (необязательный аргумент у этой команды ставится перед обязательным). Пример:

Обратите внимание, что вертикальные черточки, обозначающие знак модуля, набираются непосредственно.

Штрихи и многоточия

Штрихи в математических формулах обозначаются знаком "'" (и не оформляются как верхние индексы):

Если надо записать формулу, читающуюся как " штрих в квадрате", возьмите x' в фигурные скобки, вот так: ${x'}^2$. Обратите еще внимание на то, что точку мы поставили в конце выключенной формулы (если бы мы поставили ее после знаков $$, то с нее начался бы абзац, следующий после формулы).

В математических формулах встречаются многоточия; TeX различает многоточие, расположенное внизу строки (обозначается \ldots), и расположенное по центру строки (оно обозначается \cdots). Первое из них используется при перечислениях, второе — когда нужно заменить пропущенные слагаемые или сомножители (такова американская традиция; в России обычно многоточие ставят внизу строки и в этом случае):

Знак "~" после инициалов великого Гаусса мы поставили, чтобы фамилия не могла перенестись на другую строку отдельно от инициалов. В LaTeX'е можно использовать команду \ldots и в обычном тексте, вне математических формул, для знака многоточия.

Имена функций

Функции наподобие , и т.п., имена которых принято печатать прямым шрифтом, набираются с помощью специальных команд (обычно одноименных с обозначениями соответствующих функций).

Заметьте, что основание логарифма задается как нижний индекс.

В стандартный набор команд TeX'а не входят команды для функций и (в англоязычных странах эти функции принято обозначать и соответственно). Большой беды тут нет, поскольку эти недостающие команды легко определить самому

. Лекция: Как набирать формулы

Некоторые из приемов, описываемых здесь, становятся доступными только после подключения специальных стилевых пакетов. Напомним, что слова наподобие "чтобы сделать то-то и то-то, надо подключить стилевые пакеты yweird и queer" означают, что в преамбулу документа следует включить строчку вида

\usepackage{weird,queer}

Особенно полезны возможности, предоставляемые пакетами amssymb и amsmath рекомендуем подключать их всегда, если в вашем тексте присутствуют сколько-нибудь сложные формулы.

Имея все это в виду, приступим к делу.

Таблицы спецзнаков с комментариями

В этом разделе мы перечислим математические знаки, предоставляемые LaTeX'ом. Знаков этих очень много, поэтому разобьем их на несколько групп. Это разбиение делается не только для удобства восприятия: как мы увидим в разд. "Снова об интервалах и формулах", расстановка интервалов в формулах зависит от того, к какой группе (бинарная операция, бинарное отношение, обыкновенный символ и т.д.) относится математический символ.

Операции, отношения и просто значки

Начнем с греческих букв. Имя команды, задающей строчную греческую букву, совпадает с английским названием этой буквы (например, буква задается командой \alpha). Исключение составляет буква (она называется "омикрон"): по начертанию она совпадает с курсивной латинской o, так что специальной команды для нее не предусмотрено, и для ее набора достаточно просто написать o в формуле. Некоторые греческие буквы имеют по два варианта начертаний; это также отражено в следующей ниже таблице.

Имя команды, задающей прописную греческую букву, пишется с прописной буквы (например, буква задается командой Psi ). Некоторые прописные греческие буквы (" альфа", например) совпадают по начертанию с латинскими, и для них специальных команд нет — надо просто набрать соответствующую латинскую букву прямым шрифтом. Не надо использовать греческие буквы и из этой таблицы в качестве знаков суммы и произведения: для этих целей есть специальные команды, о которых пойдет речь дальше. Итак, вот прописные греческие буквы, не совпадающие по начертанию с латинскими:

Следующая серия символов — символы, рассматриваемые TeX'ом как символы бинарных операций (наподобие знаков сложения, умножения и т.п.); TeX оставляет в формуле небольшие пробелы по обе стороны этих знаков, кроме случаев, когда есть основания считать, что эти знаки используются не для обозначения операций, а для других целей (если, например, стоят два плюса подряд, то дополнительного пробела между ними не будет). Итак, вот список символов бинарных операций:

В следующей таблице мы собрали символы "бинарных отношений". Вокруг них TeX также оставляет дополнительные пробелы (не такие, как вокруг символов бинарных операций).

Команда \mid в этой таблице определяет вертикальную черточку, рассматриваемую как знак бинарного отношения; ее не следует употреблять, если вертикальная черточка употребляется как аналог скобки (например, как знак абсолютной величины). Типичный случай, когда нужна команда mid — запись определения множеств:

Если тут написать "|" вместо \mid, то пробелы вокруг вертикальной черты будут недостаточны. Команды \ нужны, чтобы сделать дополнительные маленькие пробелы возле фигурных скобок (подробнее см. разд. "Тонкая настройка ").

Стоит еще отметить, что при записи отображений нужно использовать не двоеточие, а команду \colon:

Если здесь задать двоеточие непосредственно, то вокруг него получатся слишком большие интервалы.

Если вы подключите стилевой пакет latexsym, то вам, кроме того, будут доступны следующие семь символов:

В следующей таблице собраны стрелки различных видов.

При подключении стилевого пакета latexsym будет также доступна стрелка (она задается командой \leadsto).

Из привычных российскому читателю символов в вышеприведенных таблицах нет знаков и , выглядящих гораздо лучше, чем и ; кроме того, греческая буква " каппа" лучше смотрится в виде , чем в виде (\kappa). Эти символы становятся доступными, если подключить стилевой пакет amssymb. При условии, что это сделано, можно задавать в математических формулах букву командой \varkappa, а символы и — командами \leqslant и \geqslant.

\log

\lg

\ln

\arg

\ker

\dim

\hom

\deg

\exp

\sin

\arcsin

\cos

\arccos

\tan

\arctan

\cot

\sec

\csc

\sinh

\cosh

\tanh

\coth

Легко видеть, что $23^{1993}\equiv 1\pmod{11}$

$a^{p-1}\equiv 1\mod p$

$a^{p-1}\equiv 1\pod p$

$f_*(x)=f(x)\bmod G$

Тот факт, что

$\sum_{i=1}^n (2n-1)=n^2$ следует из

формулы для суммы

арифметической прогрессии.

\sum

\prod

\bigcup

\bigcap

\coprod

\bigoplus

\bigotimes

\bigodot

\bigvee

\bigwedge

\biguplus

\bigsqcup

\lim

\limsup

\liminf

\max

\min

\sup

\inf

\det

\Pr

\gcd

\varlimsup

\varliminf

\injlim

\projlim

\varinjlim

\varprojlim

$\varlimsup_{n\to\infty} a_n=\inf_n\sup_{m\ge n}a_m$

$\mathcal F_x= \varinjlim_{U\ni x}\mathcal F(U)$

$$ \int_0^1x^2 dx=1/3 $$

$$ \int\limits_0^1 x^2 dx=1/3 $$

$$ \prod\nolimits_{i=1}^ni=n! $$

Как известно,

\begin{equation}

\label{trivial}

7\times9=63.

\end{equation}

.........................

Из формулы~(\ref {trivial})

следует, что $63/9=7$.

Простое тождество

$$

7\times9=63\eqno (3.2)

$$

известно каждому школьнику.