Проверка гипотезы о существовании тренда

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более что современные программные средства предоставляют для этого большие возможности. При этом не всегда четко прослеживается присутствие тренда во временном ряду. В этих случаях прежде чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда, т.е. по существу на статистической проверке гипотезы:

H₀:M_y(t)=a=const; (1.8.22)

На практике чаще всего используется, так называемый, критерий «восходящих и нисходящих» серий. Его применение

может быть представлено в виде следующей последовательности шагов.

1. На первом шаге образуется последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу:

(1.8.23)

В случае, когда последующее наблюдение окажется равным предыдущему, учитывается только одно наблюдение. Таким образом, элементы этой последовательности принимают значение «+», если последующее значение уровня ряда больше предыдущего, и «-», если последующее значение уровня ряда меньше предыдущего. Общее число знаков «+» и «-» заранее неизвестно. Индекс I может принимать значения 1,2, ...K, где K≤n-1.

2. Подсчитывается v(n) - число серий в совокупности, где под серией понимается последовательность , подряд идущих плюсов и минусов. Один плюс или один минус тоже будут считаться серией. Очевидно, что при этом каждая серия, состоящая из плюсов, соответствует возрастанию уровней ряда ("восходящая " серия), а последовательность минусов - их убыванию ("нисходящая" серия). Определяется imax(n) - протяженность самой длинной серии. Для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности ряда должны выполняться следующие неравенства ( при уровне значимости а, заключенным между 0,05 и 0,0975):

i_max(n)<i₀(n),

где i₀(n)—табличное значение, зависящее от n-длины временного ряда.

Таблица значений i₀(n) критерия «восходящих и нисходящих» серий

n	n≤26	26<n≤153	153<n≤1170
i0(n)	5	6	7

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то нулевая гипотеза о случайности ряда отвергается (следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей).

Методы сглаживания временного ряда

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряде, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, сглаживания временных рядов.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса: аналитический и алгоритмический.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую. Например, на основе визуального и содержательного экономического анализа динамики временного ряда предполагается, что трендовая составляющая может быть описана с помощью показательной функции .

Тогда на следующем этапе будет проведена статистическая оценка неизвестных коэффициентов модели, а затем определены сглаженные значения уровней временного рада путем подстановки соответствующего значения временного параметра «t» в полученное уравнение.

В алгоритмическом подходе отказываются от ограничительного допущения, свойственного аналитическому. Процедура этого класса не предполагает описания динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой заданный момент времени «t» . Методы сглаживания временных радов с помощью скользящих средних относится к такому подходу. Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, рад ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Суть различных приемов сглаживания временных рядов сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Выявление основной тенденции путем сглаживания временного ряда может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов.

1. Определяют длину интервала сглаживания S, включающего в себя 1 последовательных уровней ряда (1 > n). При этом надо иметьв виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Разбивают весь период наблюдения на участки, при этом интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным I.

3. Рассчитывают средние арифметические из уровней рада, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания 1 в виде нечетного числа I = 2р + 1, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала. Параметр р =(m-1)/2 ; где m – продолжительность периода сглаживания ( 5,7,9, 11,13 ).

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении 1 =2р + 1 скользящая средняя может быть определена по формуле:

(1.8.24)

где - значение скользящей средней в момент t;

- фактическое значение i-ro уровня; 2р+1 - длина интервала сглаживания .

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное , определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

(1.8.25)

где - весовые коэффициенты.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами ( ) , а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня , стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке проводится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используют полиномы более высоких порядков. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней. Весовые коэффициенты определяются с помощью метода наименьших квадратов, причем нет необходимости каждый раз вычислять их заново при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка. В ниже приведенной таблице представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания.

Таблица 1.8.2. Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней

Длина интервала сглаживания	Весовые коэффициенты
5	1/35 (-3;+12;+17)
7	1/21(-2;+3; +6; +7)
9	1/231 (-21; +14; +39: +54: +59)
11	1/429 (-36; +9; +44; +69; +84; +89)
13	1/143 (-11; 0; +9; +16; +21;+25)

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, так как они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства коэффициентов:

1. они симметричны относительно центрального уровня;

1. сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице;

2. наличие как положительных, так и отрицательных весов позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривого тренда.

Названные приемы сглаживания динамических радов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряди во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Восстановление краевых значений

При использовании скользящей средней с длиной активного участка

1=2р+1 первые и последние «р» уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек — существенный недостаток, так как для исследователя «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда при использовании простой скользящей средней. Для этого необходимо :

• вычислить средний абсолютный прирост на последнем активном участке;

• получить «р» сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Рассмотрим еще один из возможных способов восстановления краевых значений. Для определения «р» первых и «р» последних потерянных уровней анализируемого временного ряда можно использовать расчетные значения, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов той же степени, что и для остальных членов ряда. Причем неизвестные коэффициенты полиномов определяются соответственно по 1=2р+1 первым и последним уровням временного ряда.