4. Разложить данную (под номером n4) функцию в ряд Тейлора в заданной точке х0 и определить радиус сходимости полученного ряда, если:
1)
,
х0=1;
2)
,
х0=-3;
3)
,
х0=4;
4)
,
х0=3.
Решения.
1) , х0=1.
1.Так как х0=1, то разложение будет по степеням (х-1), поэтому преобразуем исходную функцию следующим образом:
=
=
.
Теперь обратимся
к таблице «Разложения в ряд Маклорена
некоторых элементарных функций». В
стандартном разложении функции
заменяем х
на
.
Получаем:
Полученный ряд
умножаем на
:
=
=
.
2. Определим радиус сходимости полученного ряда.
Известно, что ряд
(это ряд для функции
)
сходится при
.
В нашем случае:
.
Откуда получаем
– интервал сходимости, то есть ряд
сходится на всей числовой оси.
2) , х0=-3.
1. Подготовим
функцию к разложению по степеням (х+3)
и воспользуемся уже «готовым» разложением
в ряд Маклорена функции
.
.
2. Определим радиус сходимости полученного ряда.
Известно, что ряд
(это ряд для функции
)
сходится при
.
В нашем случае
,
тогда
.
Решая, получаем:
.
Итак, интервал сходимости:
.
Радиус сходимости равен 1.
3) , х0=4.
1.
=
=
=
.
Используем
биномиальный ряд. В нашем случае
.
Получаем:
=
2. Определим радиус сходимости полученного ряда.
Как известно, биномиальный ряд сходится при . Получаем:
.
Итак, интервал
сходимости:
.
Радиус сходимости равен 4.
4) , х0=3.
1. Преобразуем исходную фнкцию следующим образом:
.
Теперь в разложении функции
заменим х
на
и к результату прибавим
.
Получаем:
=
.
2. Определим радиус сходимости полученного ряда.
Ряд
для функции
сходится при
.
Значит, наш ряд сходится при
.
Решая это неравенство, получаем интервал
сходимости:
.
Радиус сходимости равен 3.
5. Вычислить приближенное значение (заданной под номером N5) функции в данной точке х, используя разложение этой функции в ряд Маклорена и, отбросив все слагаемые, начиная с х6. Результат округлить до 10-3 и сравнить с точным значением функции, вычисленным непосредственно или при помощи таблиц, если:
1)
,
;
2)
,
.
Решения.
1) , .
1. Разложим эту
функцию в ряд Маклорена (то есть в ряд
Тейлора в точке х0=0).
Будем использовать биномиальный ряд,
в который разложена функция
.
Преобразуем нашу функцию:
=
=
,
где
,
.
Получаем следующее разложение:
=2
=
=2
.
По условию задачи мы должны отбросить все слагаемые, начиная с х6, поэтому останется следующее:
.
Теперь в это разложение подставим значение х=1,67.
.
2. Вычислим
непосредственно
=
.
Погрешность
составила
.
Чем больше мы возьмем слагаемых в разложении ряда, тем точнее будет значение функции. В данном случае погрешность большая.
2) , .
Преобразуем:
=
=
.
Используем
разложение в ряд функции
,
где
.
Получаем:
+
+
Теперь подставляем значение .
.
Вычислим непосредственно:
.
Погрешность
составила
.