2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд с заданным (под номером n2) общим членом , если:
1)
;
2)
;
3)
.
Решения.
1)
.
Проверяем выполнение признака Лейбница:
Члены ряда по модулю образуют убывающую последовательность:
Но предел
=
=
ряд
– расходится.
2)
.
1. Проверяем выполнение признака Лейбница:
Члены ряда по модулю образуют убывающую последовательность:
вычислим приближенно
на калькуляторе:
,
,
,
… и т.д. Несмотря на то, что в начале
ряда его члены не образуют убывающую
последовательность, следует иметь в
виду, что «хвост» ряда все равно будет
состоять из таких членов, которые
все-таки образуют убывающую
последовательность. Это видно из формулы
общего члена, взятого по модулю:
.
Из двух функций
и
«быстрее растет»
.
Значит, при увеличении
знаменатель дроби
всегда больше числителя, следовательно,
сама дробь уменьшается.
Находим предел:
=
=
=
=
ряд сходится по признаку Лейбница.
2. Составляем ряд из абсолютных величин чденов данного ряда и исследуем его на сходимость.
.
Используем признак Даламбера:
=
=
=
=
– ряд сходится.
3.Вывод: исходный ряд – сходится абсолютно.
3)
.
1. Проверяем выполнение признака Лейбница:
Члены ряда по модулю образуют бесконечно убывающую последовательность:
При увеличении
числитель дроби
становится
все больше, значит, сама дробь – все
меньше.
Находим предел:
=
=
=
ряд сходится
по признаку Лейбница.
2. Проверим сходимость соответствующего знакоположительного ряда.
– ряд расходится
как обобщенный гармонический с
показателем
.
3. Вывод: исходный ряд – сходится условно.
3. Найти радиус сходимости степенного ряда с заданным (под номером n3) коэффициентом . Проверить сходимость (абсолютную и условную) этого ряда в концах интервала сходимости, если:
1)
;
2)
;
3)
.
Решения.
1)
.
1. Используем признак Даламбера. Составим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему и потребуем, чтобы он был по модулю меньше единицы.
.
Теперь потребуем, чтобы
откуда
.
Получаем интервал значений х,
в котором ряд сходится
.
2. Проверяем
сходимость ряда на концах интервала.
Для этого подставляем значения
в исходный ряд, получаем числовой ряд
и исследуем его сходимость одним из
признаков сходимости числовых рядов.
А) При
имеем ряд
=
.
Данный ряд
сходится как
обобщенный
гармонический с показателем
.
Б) При
имеем ряд
=
=
.
Данный ряд
сходится абсолютно, т. к. сходится
соответствующий знакоположительный
ряд.
3. Вывод: оба конца
интервала принадлежат интервалу
сходимости, т.е. ряд
сходится в
закрытом интервале
.
2)
.
Воспользуемся признаком Даламбера.
.
Предел равен нулю для любых значений
х,
поэтому ряд сходится на всей числовой
прямой
.
3)
.
По признаку Даламбера
=
=
=
=
.
Ряд расходится на всей числовой оси,
кроме одной точки
.