3. Ряды Тейлора и Маклорена

Вычислить приближенно значения функций, определенных интегралов, пределов и пр., а также решить приближенно дифференциальное уравнение и мн. др. можно при помощи разложения дифференцируемой функции в степенной ряд.

3.1. Понятие о ряде Тейлора

Всякая функция при соблюдении определенных условий в интервале, содержащим точку М₀, может быть представлена в нем в виде степенного ряда, и этот ряд будет ее рядом Тейлора.

Определение. Рядом Тейлора функции называется степенной ряд вида

Рядом Маклорена функции называется ряд

Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням и соответственно, или представление функции в окрестности точек x₀ или x степенным рядом.

Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках и соответственно.

3.2. Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

1. 2. 3. 4. 5. 6. (биномиальный ряд) 7. 8. 9. 10.

Ряды с 1-го по 5-ый сходятся для , а ряды с 6-го по 10-ый для .

Примеры.

1. Определить, сходится ли числовой ряд с заданным (под

номером N₁) общим членом , если:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10)

;

11) ;

12)

13) .

Решения.

1) расходится, т.к. (выполнен необходимый признак сходимости).

2) – расходится, т.к. не существует (то есть точно, значит, выполнен необходимый признак сходимости).

3) – расходится, т.к. .

4) , ряд может сходиться, но может и расходиться. Необходимый признак сходимости ответа не дал. Пробуем применить какой-либо из достаточных признаков, например, признак сравнения. Для этого сравним наш ряд с рядом , про который уже известно, что он расходится (это гармонический ряд, см. таблицу «эталонные ряды»).

Очевидно, что при выполняется следующее соотношение

.

Меньший ряд расходится, следовательно, расходится и больший ряд .

5) – ряд сходится, т.к. при , а ряд – сходится как обобщенный гармонический с показателем .

6) – ряд сходится, т.к. , а ряд – сходится как обобщенный гармонический с показателем .

7) – ряд сходится, т.к. при , а ряд – сходится как геометрический при .

8) – ряд расходится, т.к. члены его для достаточно больших n эквивалентны членам обобщенного гармонического ряда:



а ряд – расходится (показатель ). Применили 2-ой признак сравнения (предельный).

Итак:  = – расходится как обобщенный гармонический с показателем .

9) . Здесь уместно применить признак Даламбера.

, .

= = = – ряд расходится.

10) . По признаку Даламбера

= = = =

= = = =(по 2-му замечательному пределу)= = = = исходный ряд сходится.

11) . Применяя признак Даламбера, можно предварительно упростить выражение для общего члена ряда, оставля только главные члены. В знаменателе оставим 2ⁿ, т.к. показательная функция «растет быстрее», чем линейная функция . В числителе оставим . Получаем:



Найдем = = = – ряд сходится.

12) . По признаку Коши (радикальному):

= = = ряд расходится.

13) . Применим интегральный признак Коши. Для этого найдем несобственный интеграл. Для этого сначала найдем соответствующий неопределенный интеграл:

= =

= = – интеграл и вместе с ним исходный ряд расходятся.