42

1. Цепи постоянного тока.

Задача1. Для разветвлённой цепи электрической цепи, пользуясь законами Кирхгофа, определить токи во всех ветвях.

R₄ Б R₃

I₄ I₃

I_I I_II

E₁; R′₀ I₅ R₅ E₂; R″₀

I₁ I₂

R₁ А R₂

Рис. 1.1

1.1 Первый метод расчета

1. Задаёмся произвольным направлением токов.

2. Для узла А: по первому закону Кирхгофа - число уравнений для узла А (*А) равно числу узлов без единицы

∑I_*А = 0; I₅ - I₁ - I₂ = 0. (1)

3. Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа (выбираем контуры с меньшим числом ЭДС и сопротивлений; указываем произвольно направление обхода контура).

4. Значение ЭДС записываем в левой части уравнений. Положительным, если их направления совпадают с направлением обходом контура. Если нет – отрицательным.

5. Аналогично, падение напряжения на участках записывается положительным в правой части уравнения, если направление тока данного участка совпадает с направлением обхода контура.

E₁ = I₁R₁ + I₁R′₀ + I₁R₄ + I₅R₅; (2)

E₂ = I₂R₂ + I₂R″₀ + I₂R₃ + I₅R₅; (3)

Все уравнения (1), (2), (3) решаются совместно и определяются токи на участках цепи.

6. I₅ = I₁ + I₂; (1)

E₁ = I₁ (R₁ + R′₀ + R₄) + I₅R₅; (2)

E₂ = I₂ (R₂ + R″₀ + R₃) + I₅R₅; (3)

7. Подставляем цифровые значения по варианту задания.

E₁ = 70 В

E₂ = 85 В

R′₀ = 0,15 Ом

R″₀ = 0,25 Ом

R₁ = 8 Ом

R₂ = 7 Ом

R₃ = 65 Ом

R₄ = 16 Ом

R₅ = 8 Ом

70 = I₁ (8 + 0,15 + 16) + I₅•8;

85 = I₂ (7 + 0,25 + 65) + I₅•8;

70 = 24,15I₁ + 8I₅;

85 = 72,25I₂ + 8I₅;

70 = 24,15I₁+8I₁ + 8I₂ = 32,15I₁+8I₂;

85 = 72,25I₂ + 8I₁+8I₂ = 80,25I₂ + 8I₁;

8I₁ = 85 – 80,25I₂;

I₁ = 10,63 – 10I₂.

70 = 32,15 (10,63 – 10I₂) + 8I₂ = 341,75 – 321,5I₂ + 8I₂;

313,5I₂ = 271,75;

I₂=271,75꞉313,5=0,87 [А]

I₁ = 10,43– 10•0,87 = 1,93 [A]

I₅ = 1,93 + 0,87 = 2,8 [A].

Ответ. I₁ = 1,93 [A]

I₂ = 0,87[A]

I₃ = I₂ = 0,87 [A]

I₄ = I₁ = 1,93 [A]

I₅ = 2,8 [A].

Проверка решения задачи.

Для узла Б: I₄ + I₃ = I₅

1,93 + 0,87 = 2,8 [A]

II метод Метод контурных токов

Основан на применении второго закона Кирхгофа.

1. Сложная электрическая цепь разбивается на элементарные контуры и каждому контуру присваивается свой контурный ток и обозначаются произвольно их направления (I_I, I_II).

2. На участках двух смежных контуров протекают 2 тока: Ток I_I по R₅ и I_II по R₅. Результирующий ток определится как их сумма при согласном направлении и как разность при встречном направлении.

3. Для каждого контура составляют уравнения по второму закону Кирхгофа и, решая их совместно, определяют контурные токи, а затем и действительные их значения на участках цепи.

Для первого контура:

I E₁ = I_IR₁ + I_IR′₀ + I_IR₄ + I_IR₅ + I_IIR₅ = I_I (R₁ + R′₀ + R₄ + R₅) + I_IIR₅;

Для второго контура:

II E₂ = I_IIR₂ + I_IIR″₀ + I_IIR₃ + I_IIR₅ + I_IR₅ = I_II (R₂ + R″₀ + R₃ + R₅) + I_IR₅;

70 = I_I (8 + 0,15 + 16 + 8) + I_II•8;

70 = 32,15I_I + 8I_II;

85 = I_II (7 + 0,25 + 65 + 8) + I_I•8;

85 = 80,25I_II + 8I_I → 8I_I = 85 – 80,25I_II;

I_I = 10,63 – 10I_II;

70 = 32,15 (10,43 – 10I_II) + 8I_II;

70 = 341,75– 321,5I_II + 8I_II;

313,5I_II = 271,75;

I_II = 271,75꞉313,5 = 0,87 [A].

I_I = 10,43 – 10•0,87 = 1,93[A]

I₁ = I_I = I₄ = 1,93 [A]

I₅ = I_I + I_II = 1,93+0,87=2,8[A]

I₂ = I_II = I₃ = 0,87 [A]