43

1. Цепи постоянного тока.

Задача1. Для разветвлённой цепи электрической цепи, пользуясь законами Кирхгофа, определить токи во всех ветвях.

R₄ Б R₃

I₄ I₃

I_I I_II

E₁; R′₀ I₅ R₅ E₂; R″₀

I₁ I₂

R₁ А R₂

Рис. 1.1

1.1 Первый метод расчета

1. Задаёмся произвольным направлением токов.

2. Для узла А: по первому закону Кирхгофа - число уравнений для узла А (*А) равно числу узлов без единицы

∑I_*А = 0; I₅ - I₁ - I₂ = 0. (1)

3. Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа (выбираем контуры с меньшим числом ЭДС и сопротивлений; указываем произвольно направление обхода контура).

4. Значение ЭДС записываем в левой части уравнений. Положительным, если их направления совпадают с направлением обходом контура. Если нет – отрицательным.

5. Аналогично, падение напряжения на участках записывается положительным в правой части уравнения, если направление тока данного участка совпадает с направлением обхода контура.

E₁ = I₁R₁ + I₁R′₀ + I₁R₄ + I₅R₅; (2)

E₂ = I₂R₂ + I₂R″₀ + I₂R₃ + I₅R₅; (3)

Все уравнения (1), (2), (3) решаются совместно и определяются токи на участках цепи.

6. I₅ = I₁ + I₂; (1)

E₁ = I₁ (R₁ + R′₀ + R₄) + I₅R₅; (2)

E₂ = I₂ (R₂ + R″₀ + R₃) + I₅R₅; (3)

7. Подставляем цифровые значения по варианту задания.

I метод

E₁ = 65 В

E₂ = 80 В

R′₀ = 0,15 Ом

R″₀ = 0,25 Ом

R₁ = 7 Ом

R₂ = 6 Ом

R₃ = 30 Ом

R₄ = 14 Ом

R₅ = 7Ом

65 = I₁ (7 + 0,15 + 14) + I₅•7;

80 = I₂ (6 + 0,25 + 30) + I₅•7;

65 = 21,15I₁ + 7I₅;

80 = 36,25I₂ + 7I₅;

65 = 21,15I₁ + 7I₁ + 7I₂ = 28,15I₁+7I₂;

80 = 36,25I₂ + 7I₁+7I₂ = 43,25I₂ + 7I₁;

7I₁ = 80 – 43,25I₂;

I₁ = 11,43 – 6,18I₂.

65 = 28,15 (11,43 – 6,18I₂) + 7I₂ = 321,75 – 173,97I₂ + 7I₂;

166,97I₂ = 256,75;

I₂=256,75꞉166,97=1,54 [А]

I₁ = 11,43– 6,18•1,54 = 1,91 [A]

I₅ = 1,91 + 1,54 = 3,45 [A].

Ответ. I₁ = 1,91 [A]

I₂ = 1,54 [A]

I₃ = I₂ = 1,54 [A]

I₄ = I₁ = 1,91 [A]

I₅ = 3,45 [A].

Проверка решения задачи.

Для узла Б: I₄ + I₃ = I₅

1,91 + 1,54 = 3,45 [A]

II метод Метод контурных токов

Основан на применении второго закона Кирхгофа.

1. Сложная электрическая цепь разбивается на элементарные контуры и каждому контуру присваивается свой контурный ток и обозначаются произвольно их направления (I_I, I_II).

2. На участках двух смежных контуров протекают 2 тока: Ток I_I по R₅ и I_II по R₅. Результирующий ток определится как их сумма при согласном направлении и как разность при встречном направлении.

3. Для каждого контура составляют уравнения по второму закону Кирхгофа и, решая их совместно, определяют контурные токи, а затем и действительные их значения на участках цепи.

Для первого контура:

I E₁ = I_IR₁ + I_IR′₀ + I_IR₄ + I_IR₅ + I_IIR₅ = I_I (R₁ + R′₀ + R₄ + R₅) + I_IIR₅;

Для второго контура:

II E₂ = I_IIR₂ + I_IIR″₀ + I_IIR₃ + I_IIR₅ + I_IR₅ = I_II (R₂ + R″₀ + R₃ + R₅) + I_IR₅;

65 = I_I (7 + 0,15 + 14 + 7) + I_II•7;

65 = 28,15I_I + 7I_II;

80 = I_II (6 + 0,25 + 30 + 7) + I_I•7;

80 = 43,25I_II + 7I_I → 7I_I = 80 – 43,25I_II;

I_I = 11,43 – 6,18I_II;

65 = 28,15 (11,43 – 6,18I_II) + 7I_II;

55 = 321,75– 173,97I_II + 7I_II;

166,97I_II = 256,75;

I_II = 256,75꞉166,97 = 1,54 [A].

I_I = 11,43 – 6,18•1,54 = 1,91[A]

I₁ = I_I = I₄ = 1,91 [A]

I₅ = I_I + I_II = 1,91+1,54=3,45[A]

I₂ = I_II = I₃ = 1,54 [A]