Задача 2.
Используя условия соответствующего варианта лабораторной работы (вариант 4) №1 постройте модель парной нелинейной регрессии наилучшего качества и рассчитайте по ней прогноз.
№п/п |
Спрос на товар, тыс.шт. |
Цена товара. тыс.руб |
i |
у |
х |
1 |
3,7 |
220 |
2 |
7,2 |
115 |
3 |
8,6 |
105 |
4 |
4,3 |
180 |
5 |
2,8 |
265 |
6 |
2,1 |
304 |
7 |
3,1 |
245 |
8 |
2,9 |
250 |
9 |
2,5 |
267 |
10 |
3,8 |
202 |
11 |
4,4 |
176 |
12 |
3,1 |
248 |
13 |
3,3 |
229 |
14 |
3,1 |
237 |
15 |
4,4 |
176 |
16 |
2,9 |
276 |
17 |
7,5 |
114 |
18 |
2,4 |
300 |
Решение.
Подберем наилучшую нелинейную форму связи между результативным и независимым фактором с помощью построения диаграммы рассеяния.
Исходя из полученных результатов можно предположить, что лучше всего описывает зависимость спроса на товары от цены описывает степенная модель (максимальная величина R²=0,9848).
Также построим уравнения нелинейной регрессии с помощью функции АНАЛИЗ ДАННЫХ
Для построения моделей сделаем расчет
y |
x |
Х*Х |
1/Х |
LnY |
LnX |
3,7 |
220 |
48400 |
0,004545 |
1,308333 |
5,393628 |
7,2 |
115 |
13225 |
0,008696 |
1,974081 |
4,744932 |
8,6 |
105 |
11025 |
0,009524 |
2,151762 |
4,65396 |
4,3 |
180 |
32400 |
0,005555 |
1,458615 |
5,192957 |
2,8 |
265 |
70225 |
0,003774 |
1,029619 |
5,57973 |
2,1 |
304 |
92416 |
0,003289 |
0,741937 |
5,717028 |
3,1 |
245 |
60025 |
0,004082 |
1,131402 |
5,501258 |
2,9 |
250 |
62500 |
0,004 |
1,064711 |
5,521461 |
2,5 |
267 |
71289 |
0,003745 |
0,916291 |
5,587249 |
3,8 |
202 |
40804 |
0,004951 |
1,335001 |
5,308268 |
4,4 |
176 |
30976 |
0,005682 |
1,481605 |
5,170484 |
3,1 |
248 |
61504 |
0,004032 |
1,131402 |
5,513429 |
3,3 |
229 |
52441 |
0,004367 |
1,193922 |
5,433722 |
3,1 |
237 |
56169 |
0,004219 |
1,131402 |
5,46806 |
4,4 |
176 |
30976 |
0,005682 |
1,481605 |
5,170484 |
2,9 |
276 |
76176 |
0,003623 |
1,064711 |
5,620401 |
7,5 |
114 |
12996 |
0,008772 |
2,014903 |
4,736198 |
2,4 |
300 |
90000 |
0,003333 |
0,875469 |
5,703782 |
Регрессионный анализ
Логарифмическая модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,981509 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,963361 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,961071 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,368781 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
57,21345 |
57,21345 |
420,6887 |
6,48E-13 |
|
|
|
Остаток |
16 |
2,175992 |
0,136 |
|
|
|
|
|
Итого |
17 |
59,38944 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
33,60923 |
1,445944 |
23,2438 |
9,32E-14 |
30,54397 |
36,67449 |
30,54397 |
36,67449 |
Переменная X 1 |
-5,5497 |
0,270576 |
-20,5107 |
6,48E-13 |
-6,1233 |
-4,97611 |
-6,1233 |
-4,97611 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полиномиальная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,990045 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,980189 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,977547 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,28007 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
2 |
58,21285 |
29,10643 |
371,0692 |
1,69E-13 |
|
|
|
Остаток |
15 |
1,17659 |
0,078439 |
|
|
|
|
|
Итого |
17 |
59,38944 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
15,72318 |
0,732813 |
21,45591 |
1,14E-12 |
14,16122 |
17,28513 |
14,16122 |
17,28513 |
Переменная X 1 |
-0,08879 |
0,007633 |
-11,6311 |
6,62E-09 |
-0,10506 |
-0,07251 |
-0,10506 |
-0,07251 |
Переменная X 2 |
0,000149 |
1,87E-05 |
7,954405 |
9,24E-07 |
0,000109 |
0,000189 |
0,000109 |
0,000189 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степенная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,992358 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,984775 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,983824 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,050708 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
2,661075 |
2,661075 |
1034,921 |
5,71E-16 |
|
|
|
Остаток |
16 |
0,041141 |
0,002571 |
|
|
|
|
|
Итого |
17 |
2,702215 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
7,689294 |
0,198819 |
38,67487 |
3,11E-17 |
7,267816 |
8,110771 |
7,267816 |
8,110771 |
Переменная X 1 |
-1,19688 |
0,037205 |
-32,1702 |
5,71E-16 |
-1,27575 |
-1,11801 |
-1,27575 |
-1,11801 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,98399 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,968236 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,966251 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,073243 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
2,616382 |
2,616382 |
487,7119 |
2,06E-13 |
|
|
|
Остаток |
16 |
0,085834 |
0,005365 |
|
|
|
|
|
Итого |
17 |
2,702215 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
2,686428 |
0,064899 |
41,39389 |
1,06E-17 |
2,548848 |
2,824008 |
2,548848 |
2,824008 |
Переменная X 1 |
-0,00636 |
0,000288 |
-22,0842 |
2,06E-13 |
-0,00697 |
-0,00575 |
-0,00697 |
-0,00575 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гиперболическая модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,995584 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,991187 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,990636 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,180863 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
58,86606 |
58,86606 |
1799,553 |
7,17E-18 |
|
|
|
Остаток |
16 |
0,523384 |
0,032711 |
|
|
|
|
|
Итого |
17 |
59,38944 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
-0,88648 |
0,122948 |
-7,21019 |
2,08E-06 |
-1,14711 |
-0,62584 |
-1,14711 |
-0,62584 |
Переменная X 1 |
958,4905 |
22,59465 |
42,42113 |
7,17E-18 |
910,592 |
1006,389 |
910,592 |
1006,389 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты представим в таблице.
№п/п |
Вид уравнения |
Входной интервал У |
Входной интервал Х |
1 |
Логарифмическое Y=33,609-5,5497Ln(X) tст (23,24) (-20,51) F=420,69 R²=0,9634 , уравнение удовлетворительного качества, все коэффициенты значимы, модель хуже чем гиперболическая |
У |
Ln(X) |
2 |
Полиномиальное второй степени Y=15,723-0,0888*Х+0,0001Х² tст (0,067) (2,28) (-1,398) F=371,07 R²=0,9802 , уравнение удовлетворительного качества, все коэффициенты значимы, модель хуже чем гиперболическая
|
У |
Х, Х² |
3 |
Степенная модель Ln Y=7,954-1,1968Ln(X)
tст (38,67) (-32,17) F=1034,921 R²=0,985 , уравнение удовлетворительного качества, коэффициенты значимы, однако модель хуже чем гиперболическая
|
Ln(У) |
Ln(X) |
4 |
Экспоненциальная модель Ln Y=2,686-0,00064X
tст (41,39) (-22,08) F=487,71 R²=0, 968, уравнение удовлетворительного качества, коэффициенты значимы, однако модель хуже чем гиперболическая
|
Ln(У) |
Х |
5 |
Гиперболическая модель Y=-0,8865+958,49/х tст (-7,21) (42,42,74) F=1799,5 R²=0,991, уравнение удовлетворительного качества, все коэффициенты значимы, R²=0,991- максимальная величина,
|
у |
1/х |
Наилучшей моделью является гиперболическая Y=-0,8865+958,49/х,
данная модель удовлетворительного качества, все коэффициенты значимы, наибольшая величина R²=0,991, поэтому данная модель наилучшим образом описывает зависимость спроса от цены товаров
Сделаем прогноз спроса, если цена товара будет на 17% меньше ее среднего уровня. Х(ср)=217,667 тыс.руб
Х(прогн)=217,667*(1-0,17)=180,663 тыс.руб
У(прогн)=. -0,8865+958,49/180,663=4,42тыс.шт.
Вывод. Для прогнозирования лучше всего подходит гиперболическая модель Y=-0,8865+958,49/х. Модель выбранная с помощью анализа R² и регрессионного анализа не совпадает, модель выбранная с помощью анализа R²- степенная, однако при расчетах выяснилось, что наибольшая величина R²=0,991-у гиперболической модели.
прогноз спроса, если цена товара будет на 17% меньше ее среднего уровняХ(прогн)=180,663 тыс.руб
У(прогн)=. -0,8865+958,49/180,663=4,42тыс.шт
Задача 3.
По данным 30 наблюдений постройте модель множественной регрессии удовлетворительного качества . Рассчитайте прогноз результата, если прогнозные значения независимых факторов будут составлять 90% от их среднего уровня.
№п/п |
Валовой продукт, млн.руб |
Балансовая стоимость оборудования, млн.руб. |
Объем промышленного производства, млн.руб |
Количество занятых, тыс.чел. |
i |
У |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
1 |
14816 |
48598 |
5927 |
168 |
2 |
11749 |
43093 |
5153 |
181 |
3 |
17755 |
70635 |
4742 |
265 |
4 |
8554 |
35263 |
3173 |
126 |
5 |
5923 |
27908 |
1910 |
91 |
6 |
10819 |
41487 |
3739 |
155 |
7 |
16007 |
43040 |
8758 |
145 |
8 |
10604 |
36795 |
3263 |
137 |
9 |
9968 |
41751 |
3871 |
122 |
10 |
12719 |
58613 |
4086 |
167 |
11 |
14635 |
52183 |
6442 |
195 |
12 |
15521 |
61816 |
6514 |
167 |
13 |
9430 |
30269 |
3624 |
92 |
14 |
20856 |
66116 |
6126 |
151 |
15 |
8194 |
25238 |
2068 |
108 |
16 |
19613 |
74340 |
8145 |
175 |
17 |
19160 |
68529 |
4068 |
248 |
18 |
23128 |
69608 |
8151 |
268 |
19 |
31436 |
99719 |
8205 |
437 |
20 |
18597 |
60060 |
7838 |
190 |
21 |
12706 |
49344 |
4703 |
182 |
22 |
26952 |
78010 |
9110 |
248 |
23 |
22773 |
89659 |
5992 |
286 |
24 |
10966 |
41983 |
4146 |
156 |
25 |
7232 |
30569 |
1662 |
104 |
26 |
25505 |
100766 |
5221 |
274 |
27 |
16161 |
63420 |
4080 |
238 |
28 |
10060 |
35084 |
1340 |
117 |
29 |
21332 |
55414 |
5812 |
231 |
30 |
8861 |
47219 |
1277 |
113 |