Контрольная работа.
Задача 1.
По данным 18 однородных предприятий известна цена товара (тыс.руб.) и спрос (тыс.шт.). Постройте модель парной линейной регрессии и рассчитайте прогноз спроса, если цена товара будет на 17% меньше ее среднего уровня.
Таблица.
№п/п |
Спрос на товар, тыс.шт. |
Цена товара. тыс.руб |
i |
у |
х |
1 |
3,7 |
220 |
2 |
7,2 |
115 |
3 |
8,6 |
105 |
4 |
4,3 |
180 |
5 |
2,8 |
265 |
6 |
2,1 |
304 |
7 |
3,1 |
245 |
8 |
2,9 |
250 |
9 |
2,5 |
267 |
10 |
3,8 |
202 |
11 |
4,4 |
176 |
12 |
3,1 |
248 |
13 |
3,3 |
229 |
14 |
3,1 |
237 |
15 |
4,4 |
176 |
16 |
2,9 |
276 |
17 |
7,5 |
114 |
18 |
2,4 |
300 |
Решение.
С помощью функции РЕГРЕССИЯ построим уравнение регрессии.
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,9469 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,896621 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,890159 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,619458 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
53,2498 |
53,2498 |
138,7696 |
2,69E-09 |
|
|
|
Остаток |
16 |
6,139649 |
0,383728 |
|
|
|
|
|
Итого |
17 |
59,38944 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
10,2385 |
0,548886 |
18,65324 |
2,8E-12 |
9,074912 |
11,40208 |
9,074912 |
11,40208 |
х |
-0,0287 |
0,002436 |
-11,7801 |
2,69E-09 |
-0,03387 |
-0,02354 |
-0,03387 |
-0,02354 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное у |
Остатки |
|
|
|
|
|
|
1 |
3,924236 |
-0,22424 |
|
|
|
|
|
|
2 |
6,93786 |
0,26214 |
|
|
|
|
|
|
3 |
7,224872 |
1,375128 |
|
|
|
|
|
|
4 |
5,072283 |
-0,77228 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2,632682 |
0,167318 |
|
|
|
|
|
|
6 |
1,513336 |
0,586664 |
|
|
|
|
|
|
7 |
3,206706 |
-0,10671 |
|
|
|
|
|
|
8 |
3,0632 |
-0,1632 |
|
|
|
|
|
|
9 |
2,57528 |
-0,07528 |
|
|
|
|
|
|
10 |
4,440857 |
-0,64086 |
|
|
|
|
|
|
11 |
5,187088 |
-0,78709 |
|
|
|
|
|
|
12 |
3,120602 |
-0,0206 |
|
|
|
|
|
|
13 |
3,665925 |
-0,36592 |
|
|
|
|
|
|
14 |
3,436315 |
-0,33632 |
|
|
|
|
|
|
15 |
5,187088 |
-0,78709 |
|
|
|
|
|
|
16 |
2,316969 |
0,583031 |
|
|
|
|
|
|
17 |
6,966562 |
0,533438 |
|
|
|
|
|
|
18 |
1,62814 |
0,77186 |
|
|
|
|
|
|
Согласно полученным результатам уравнение регрессии
У(1)= 10,2385-0,0287Х, R²=0,896 R= 0,947
tст (18,65) (-11,78) F=138,76
Для оценки значимости параметров регрессии и модели в целом определим tкрит Fкрит и сравним их с расчетными величинами.
F(крит.)=4,49 (при a=0,05 и числе степеней свободы n1= k=1 и n2 = 18-2=16)
Так как F(набл)> F(крит), то модель значима
. По таблице t-распределения Стьюдента определяем tкр - критическое значение t-статистики для анализируемого уравнения
tкр (a=0,05; ν=n-2=18-2=16) =2.119
так как Так как 18,65>2,119 |-11,78|>2,119, то значимыми являются коэффициенты а0 и а1
Проверим выполнение одной из предпосылок метода наименьших квадратов –постоянство дисперсий остатков уравнения регрессии.
График остатков показывает, что остатки являются гомоскедатичными.
Проверим это предположение с помощью критерия Голдфелда-Квандта.
Проведем сортировку данных по х
х |
у |
105 |
8,6 |
114 |
7,5 |
115 |
7,2 |
176 |
4,4 |
176 |
4,4 |
180 |
4,3 |
202 |
3,8 |
220 |
3,7 |
229 |
3,3 |
237 |
3,1 |
245 |
3,1 |
248 |
3,1 |
250 |
2,9 |
265 |
2,8 |
267 |
2,5 |
276 |
2,9 |
300 |
2,4 |
304 |
2,1 |
Первая группа наблюдений (х от 105 до 180- 6 наблюдений)
Вторая группа наблюдений (х от 250 до 304-6 наблюдений)
Регрессия первой группы
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,988521 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,977174 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,971467 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,324333 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
18,01257 |
18,01257 |
171,2355 |
0,000197 |
|
|
|
Остаток |
4 |
0,420767 |
0,105192 |
|
|
|
|
|
Итого |
5 |
18,43333 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
13,60382 |
0,591007 |
23,01803 |
2,11E-05 |
11,96292 |
15,24471 |
11,96292 |
15,24471 |
Переменная X 1 |
-0,05222 |
0,003991 |
-13,0857 |
0,000197 |
-0,0633 |
-0,04114 |
-0,0633 |
-0,04114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
|
|
|
|
|
|
1 |
8,12067 |
0,47933 |
|
|
|
|
|
|
2 |
7,650686 |
-0,15069 |
|
|
|
|
|
|
3 |
7,598466 |
-0,39847 |
|
|
|
|
|
|
4 |
4,41302 |
-0,01302 |
|
|
|
|
|
|
5 |
4,41302 |
-0,01302 |
|
|
|
|
|
|
6 |
4,204138 |
0,095862 |
|
|
|
|
|
|
Регрессия второй группы наблюдений
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,818946 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,670673 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,588341 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,206912 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
0,34875 |
0,34875 |
8,145985 |
0,046203 |
|
|
|
Остаток |
4 |
0,17125 |
0,042813 |
|
|
|
|
|
Итого |
5 |
0,52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
6,0625 |
1,216097 |
4,985211 |
0,007569 |
2,686074 |
9,438926 |
2,686074 |
9,438926 |
Переменная X 1 |
-0,0125 |
0,00438 |
-2,85412 |
0,046203 |
-0,02466 |
-0,00034 |
-0,02466 |
-0,00034 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим отношение большей остаточной суммы квадратов к меньшей
Fрасч=SS1/SS3=0,420767/0,17125=2,457
Определим Fкрит (α=0,05, 1=6-1-1=4 2=6-1-1=4), Fкрит=6,39
Так как Fкрит> Fрасч, то остатки регрессии являются гомоскедатичными.
Уравнение регрессии построенной по исходным данным является адекватным, имеет хорошее качество, его можно использовать для прогонозирования. Сделаем прогноз спроса, если цена товара будет на 17% меньше ее среднего уровня. Х(ср)=217,667 тыс.руб
Х(прогн)=217,667*(1-0,17)=180,663 тыч.руб
У(1)= 10,2385-0,0287*180,663=5,053 тыс.шт.
Вывод. Уравнение регрессии зависимости спроса от цены товара У(1)= 10,2385-0,0287Х, данное уравнение является адекватным, имеет хорошее качество. тыс.руб. Прогноз спроса, если цена товара будет на 17% меньше ее среднего уровня, т.е.
Х(прогн)=180,663 тыс.руб
У(1)=5,053 тыс.шт.
Анализ остатков по критерию Голдфелда-Квандта выявил наличие гетероскедатичности остатков.