Задача 2.
Используя условия соответствующего варианта лабораторной работы (вариант 3) №1 постройте модель парной нелинейной регрессии наилучшего качества и рассчитайте по ней прогноз.
№п/п |
Объем выпуска, тыс.ед. |
Затраты на производство, млн.ден.ед. |
i |
х |
у |
1 |
3,5 |
34,1 |
2 |
4,1 |
29,3 |
3 |
7,6 |
11,5 |
4 |
5,2 |
27,6 |
5 |
4,9 |
27,0 |
6 |
12,7 |
8,9 |
7 |
14,9 |
8,6 |
8 |
10,7 |
6,8 |
9 |
9,5 |
4,0 |
10 |
9,4 |
9,2 |
11 |
4,6 |
28,7 |
12 |
6,3 |
15,8 |
13 |
6,9 |
15,1 |
14 |
7,1 |
20,1 |
15 |
8,5 |
13,3 |
16 |
8,7 |
14,7 |
Решение.
Подберем наилучшую нелинейную форму связи между результативным и независимым фактором с помощью построения диаграммы рассеяния.
Логарифмическая модель
Также построим уравнения нелинейной регрессии с помощью функции АНАЛИЗ ДАННЫХ
Для построения моделей сделаем расчет
y |
x |
Х*Х |
1/Х |
LnY |
LnX |
34,1 |
3,5 |
12,25 |
0,2857 |
3,529297 |
1,252763 |
29,3 |
4,1 |
16,81 |
0,2439 |
3,377588 |
1,410987 |
11,5 |
7,6 |
57,76 |
0,1316 |
2,442347 |
2,028148 |
27,6 |
5,2 |
27,04 |
0,1923 |
3,317816 |
1,648659 |
27 |
4,9 |
24,01 |
0,2041 |
3,295837 |
1,589235 |
8,9 |
12,7 |
161,29 |
0,0787 |
2,186051 |
2,541602 |
8,6 |
14,9 |
222,01 |
0,0671 |
2,151762 |
2,701361 |
6,8 |
10,7 |
114,49 |
0,0935 |
1,916923 |
2,370244 |
4 |
9,5 |
90,25 |
0,1052 |
1,386294 |
2,251292 |
9,2 |
9,4 |
88,36 |
0,1063 |
2,219203 |
2,24071 |
28,7 |
4,6 |
21,16 |
0,2174 |
3,356897 |
1,526056 |
15,8 |
6,3 |
39,69 |
0,1587 |
2,76001 |
1,84055 |
15,1 |
6,9 |
47,61 |
0,1449 |
2,714695 |
1,931521 |
20,1 |
7,1 |
50,41 |
0,1408 |
3,00072 |
1,960095 |
13,3 |
8,5 |
72,25 |
0,1176 |
2,587764 |
2,140066 |
14,7 |
8,7 |
75,69 |
0,1149 |
2,687847 |
2,163323 |
Регрессионный анализ
Логарифмическая модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,920738 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,847759 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,836884 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
3,797916 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
1124,496 |
1124,496 |
77,95919 |
4,27E-07 |
|
|
|
Остаток |
14 |
201,9383 |
14,42416 |
|
|
|
|
|
Итого |
15 |
1326,434 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
58,76803 |
4,806144 |
12,22769 |
7,35E-09 |
48,45988 |
69,07618 |
48,45988 |
69,07618 |
Переменная X 1 |
-21,0652 |
2,385787 |
-8,82945 |
4,27E-07 |
-26,1822 |
-15,9482 |
-26,1822 |
-15,9482 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полиномиальная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,960897 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,923324 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,911527 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
2,797061 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
2 |
1224,728 |
612,3641 |
78,27192 |
5,63E-08 |
|
|
|
Остаток |
13 |
101,7061 |
7,823548 |
|
|
|
|
|
Итого |
15 |
1326,434 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
61,94531 |
4,672336 |
13,25789 |
6,27E-09 |
51,85135 |
72,03928 |
51,85135 |
72,03928 |
Переменная X 1 |
-9,13338 |
1,143083 |
-7,99013 |
2,27E-06 |
-11,6029 |
-6,6639 |
-11,6029 |
-6,6639 |
Переменная X 2 |
0,376061 |
0,06362 |
5,911056 |
5,14E-05 |
0,238618 |
0,513503 |
0,238618 |
0,513503 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степенная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,859932 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,739483 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,720874 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,323354 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
4,155046 |
4,155046 |
39,73922 |
1,94E-05 |
|
|
|
Остаток |
14 |
1,463809 |
0,104558 |
|
|
|
|
|
Итого |
15 |
5,618855 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
5,211876 |
0,409194 |
12,73692 |
4,34E-09 |
4,334241 |
6,08951 |
4,334241 |
6,08951 |
Переменная X 1 |
-1,28048 |
0,203126 |
-6,30391 |
1,94E-05 |
-1,71615 |
-0,84482 |
-1,71615 |
-0,84482 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальная модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,809105 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,654652 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,629984 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,372296 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
3,678392 |
3,678392 |
26,53877 |
0,000147 |
|
|
|
Остаток |
14 |
1,940463 |
0,138604 |
|
|
|
|
|
Итого |
15 |
5,618855 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
3,899622 |
0,253809 |
15,36438 |
3,7E-10 |
3,355255 |
4,443989 |
3,355255 |
4,443989 |
Переменная X 1 |
-0,1562 |
0,030321 |
-5,15158 |
0,000147 |
-0,22124 |
-0,09117 |
-0,22124 |
-0,09117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гиперболическая модель
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,943224 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,889672 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,881791 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
3,233123 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
1180,091 |
1180,091 |
112,8941 |
4,39E-08 |
|
|
|
Остаток |
14 |
146,3432 |
10,45308 |
|
|
|
|
|
Итого |
15 |
1326,434 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
-4,18493 |
2,166177 |
-1,93194 |
0,073862 |
-8,83092 |
0,461054 |
-8,83092 |
0,461054 |
Переменная X 1 |
142,1979 |
13,38313 |
10,62516 |
4,39E-08 |
113,494 |
170,9019 |
113,494 |
170,9019 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты представим в таблице.
№п/п |
Вид уравнения |
Входной интервал У |
Входной интервал Х |
1 |
Логарифмическое Y=58,7608-21,0652Ln(X) tст (12,23) (-8,83) F=77,95 R²=0, 847 , уравнение удовлетворительного качества, коэффициенты значимы, однако данное уравнение хуже, чем полиномиальное уравнение |
У |
Ln(X) |
2 |
Полиномиальное второй степени Y=61,945-9,1334*Х+0,3761Х² tст (5,91) (-7,99) (13,25) F=78,27 R²=0, 9233 , уравнение удовлетворительного качества, коэффициенты значимы, наибольшая величина R²=0,9233, данное уравнение можно использовать для прогноза величины затрат.
|
У |
Х, Х² |
3 |
Степенная модель Ln Y=5,211-1,28Ln(X)
tст (12,74) (-6,30) F=39,74 R²=0, 739 , уравнение удовлетворительного качества, коэффициенты значимы, однако модель хуже чем полиномиальная
|
Ln(У) |
Ln(X) |
4 |
Экспоненциальная модель Ln Y=3,899-0,1562X
tст (15,36) (5,15) F=26,53 R²=0, 654 , уравнение удовлетворительного качества, коэффициенты значимы, однако модель хуже чем полиномиальная
|
Ln(У) |
Х |
5 |
Гиперболическая модель Y=-4,18+142,1979/х tст (-1,93) (10,62) F=112,89 R²=0, 889, уравнение удовлетворительного качества, коэффициент а2 значим, однако модель хуже чем логарифмическая
|
у |
1/х |
Наилучшей моделью является полиномиальная Y=61,945-9,1334*Х+0,3761Х², данная модель удовлетворительного качества, все коэффициенты значимы, наибольшая величина R²=0,9233, поэтому данная модель наилучшим образом описывает зависимость затрат на производство от величины выпуска
Сделаем прогноз затрат на производство, если объем выпуска будет составлять 120% от среднего уровня. Хср=7,7875, Х(прогн)=1,2*7,7875=9,345 тыс.ед.
Упрогн=61,945-9,1334*9,345+0,3761*9,345²=9,437 млн.ден.ед.
Вывод. Для прогнозирования лучше всего подходит полиномиальная модель Y=61,945-9,1334*Х+0,3761Х². Модель выбранная с помощью анализа R² и регрессионного анализа совпадает.
Прогноз затрат на производство, если объем выпуска будет составлять 120% от среднего уровня. Х(прогн)=1,2*7,7875=9,345 тыс.ед.
Упрогн=61,945-9,1334*9,345+0,3761*9,345²=9,437 млн.ден.ед Задача 3.
По данным 30 наблюдений постройте модель множественной регрессии удовлетворительного качества . Рассчитайте прогноз результата, если прогнозные значения независимых факторов будут составлять 106% от их среднего уровня.
№п/п |
Валовой продукт, млн.руб |
Балансовая стоимость оборудования, млн.руб. |
Объем промышленного производства, млн.руб |
Количество занятых, тыс.чел. |
i |
У |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
1 |
4987 |
45778 |
1932 |
162 |
2 |
4279 |
38461 |
1630 |
175 |
3 |
6721 |
70406 |
1853 |
253 |
4 |
3219 |
26535 |
818 |
129 |
5 |
2315 |
22163 |
642 |
93 |
6 |
4276 |
40832 |
1408 |
143 |
7 |
5021 |
41566 |
2649 |
138 |
8 |
4137 |
33209 |
1367 |
143 |
9 |
3355 |
36655 |
1149 |
122 |
10 |
4791 |
42714 |
1437 |
170 |
11 |
5115 |
50006 |
1987 |
202 |
12 |
6046 |
48984 |
2250 |
165 |
13 |
2989 |
30206 |
903 |
96 |
14 |
6104 |
49745 |
1856 |
158 |
15 |
2500 |
19844 |
594 |
105 |
16 |
5943 |
58668 |
1936 |
172 |
17 |
7355 |
61742 |
1475 |
253 |
18 |
9644 |
73772 |
3042 |
296 |
19 |
10452 |
95564 |
3337 |
442 |
20 |
6033 |
42046 |
1830 |
182 |
21 |
5018 |
45102 |
1517 |
175 |
22 |
8610 |
71929 |
3019 |
234 |
23 |
8262 |
75885 |
2118 |
288 |
24 |
4929 |
42592 |
1708 |
158 |
25 |
3161 |
18392 |
769 |
113 |
26 |
10624 |
76039 |
2285 |
279 |
27 |
9513 |
64083 |
3052 |
233 |
28 |
3860 |
32793 |
690 |
123 |
29 |
8329 |
74201 |
2412 |
233 |
30 |
4178 |
45298 |
726 |
118 |